¿Cómo resolver una pregunta de movimiento?

Question

Una partícula se está moviendo en $x=3\cos\left(2t\right)$. Encuentra la expresión de la velocidad en términos de $x$.

No estoy seguro por dónde empezar.

Answer 1

Bien, aquí tienes una versión ligeramente más limpia de las respuestas anteriores. Tenemos

$$x=3\cos 2t, \frac{dx}{dt}=-6\sin 2t$$

Nuevamente, usamos la identidad trigonométrica

$$\sin^2u+\cos^2u=1$$

Sustituyendo $u=2t$ tenemos

$$\sin^2 2t+\cos^2 2t=1$$

Ahora multiplicamos esta ecuación por 9.

$$9\sin^22t+9\cos^22t=9$$

$$9\sin^22t+x^2=9$$

$$9\sin^22t=9-x^2$$

$$3\sin2t=\pm\sqrt{9-x^2}$$

$$\frac{dx}{dt}=-6\sin 2t=\pm2\sqrt{9-x^2}$$

El signo más o menos depende del valor de $t$.

Answer 2

Dado que la velocidad es la derivada del desplazamiento, estamos buscando $\frac{dx}{dt}$ en términos de x $$x=3\cos(2t)$$ $$\frac{dx}{dt}=-6\sin(2t)$$ Resolviendo para $t$ en la primera ecuación se tiene que $$t=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{x}{3}\right)$$ Usando la siguiente identidad trigonométrica $$\sin^2x+\cos^2x=1$$ y resolviendo para $\sin x$ se obtiene $$\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}$$ Por lo tanto, reemplazando $t$ en la segunda ecuación se tiene que $$\frac{dx}{dt}=-6\sin\left(\arccos\left(\frac{x}{3}\right)\right)$$ $$\frac{dx}{dt}=\pm6\sqrt{1-\cos^2\left(\arccos\left(\frac{x}{3}\right)\right)}$$ $$\frac{dx}{dt}=\pm6\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$$ $$\fbox{$\frac{dx}{dt}=\pm2\sqrt{9-x^2}$}$$

Answer 3

Tienes: $$\dot x(t)=-6\sin(2t)$$ De la ecuación: $$x(t)=3\cos(2t)$$ tienes: $$t=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{x(t)}{3}\right)$$ Entonces: $$\dot x(t)=-6\sin\left(\arccos\frac{x(t)}{3}\right)$$