Problema con la prueba de que la extensión de galois de $x^n-1$ en $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n)^\times$

Question

Estoy tratando de entender una prueba de que la extensión de galois de $x^n-1$ en $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n)^\times$ .

Puedo ver por qué hay una inyección de $\text{Gal}(x^n-1)$ en $(\mathbb{Z}_n)^\times$ . Sin embargo, cuando se trata de demostrar la subjetividad, estoy confundido.

Dado $\zeta$ una primitiva $n$ raíz de la unidad y $r \in (\mathbb{Z}_n)^\times$ . ¿Por qué es suficiente demostrar que $\zeta$ y $\zeta^r$ tienen el mismo polinomio mínimo? ¿No es posible que para $\zeta$ y $\zeta^r$ para tener el mismo polinomio mínimo sin tener un automorfismo $\tau$ tal que $\tau(\zeta) = \zeta^r$ ?

Answer 1

¿No es posible que para $\zeta$ y $\zeta^r$ para tener el mismo polinomio mínimo sin tener un automorfismo $\tau$ tal que $\tau(\zeta) = \zeta^r$ ?

No. Si $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo polinomio mínimo $p(X)$ en $K$ entonces $K[\alpha]\cong K[\beta] \cong K[X]/(p(X))$ .

Es un resultado básico de la teoría de Galois que este isomorfismo se extiende a un automorfismo del cierre algebraico, aunque ni siquiera es necesario en este caso.