¿Cuántos elementos tiene un tensor de tercer orden con ciertas simetrías?

Question

Tengo un tensor $A_{ijk}$ eran índices $i$ , $j$ y $k$ correr de $1$ a $N$ .

Obviamente hay $N^3$ elementos, pero ¿cuántos elementos únicos hay si existen las siguientes simetrías?

1. $A_{iij} = A_{iji} = A_{jii} $
2. $A_{ijk} = A_{ikj} = A_{jik} = A_{jki} = A_{kij} = A_{kji}$

Estas son todas las simetrías que existirían con la diferenciación, ya que este tensor representa en realidad la tercera derivada de una función.

Answer 1

Esto equivale a contar el número de soluciones enteras de

$$n_1 + n_2 + n_3 +\cdots + n_N= 3$$

El número de soluciones es:

$$\binom{N+2}{3} = \frac{1}{6}N(N+1)(N+2)$$

Answer 2

Hay $N$ elementos únicos de la forma $A_{iii}$ .

Para los elementos de la forma $A_{iij}$ Hay $N$ formas de elegir $i$ y $N-1$ formas de elegir $j$ . Obsérvese que el orden es importante aquí.

Para los elementos de la forma $A_{ijk}$ Hay $\binom{N}3$ formas de elegir $i$ , $j$ y $k$ . Obsérvese que el orden no importa aquí, por lo que utilizamos el coeficiente binomial aquí (y no en el caso anterior).

Esto nos da $N + N(N-1) + N(N-1)(N-2)/6 = \frac16(n^3+3n^2+2n)$ .