Convergencia uniforme en un segmento cerrado

Question

Dejemos que $f_n(x)=\frac{2nx+1}{n+nx^2}$ . Quiero demostrar que es uniforme convergente en $[0,3]$ .
La función límite puntual es $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ .
Pude encontrar un supremun para $|f_n(x)-f(x)|$ que es $\frac {1}{n} \rightarrow 0$ .
¿Demuestra esto que $f_n(x)$ converge en $[0,3]$ ?

Answer 1

El hecho $\sup_{x\in[0,3]}|f_n(x)-f(x)|$ converge a $0$ es efectivamente suficiente, y de hecho es equivalente a la convergencia uniforme en $[0,3]$ . Este es un ejercicio instructivo para mostrarlo con $\varepsilon$ 's.

Y efectivamente, en su contexto, el supremum es igual a $1/n$ (se puede acceder a ella a través de $0$ ).