En cuanto a $x < y \Rightarrow x^n < y^n$ el rigor de la prueba.

Question

Me encontré con la implicación $$x < y \Rightarrow x^n < y^n$$ $$x,y>0, n\in Z^+$$ en un libro de texto y llegó a la siguiente prueba.

Prueba Desde $x<y$ la siguiente cadena de desigualdades se mantiene. $x^n<x^{n-1}y < x^{n-2}y^2 <...<y^n$

Mi pregunta se refiere ahora a la "solidez" de esta prueba. Tengo la sensación de que es un poco vaga en su razonamiento, pero no veo que no sea correcta... Soy bastante nuevo en esto de las pruebas y no siempre veo la diferencia entre un razonamiento intuitivo y un razonamiento riguroso.

¿Es sólido mi razonamiento? Si no es así, ¿qué le falta?

Answer 1

Lo que falta es la inducción explícita. Es un argumento "etcétera". No está mal, pero no es $100\%$ riguroso. Sin embargo, se acerca lo suficiente como para que sea riguroso, si se sabe cómo hacer la inducción.

Answer 2

Hágase la siguiente pregunta: ¿En qué parte de la prueba utilizo (tácitamente) la hipótesis de que $x$ y $y$ son positivos? Entonces, haz que ese uso sea explícito.

También puede ser útil reescribir la prueba como una prueba por inducción, induciendo sobre $n$ . En otras palabras, demuestre que si $0\lt x\lt y$ y $x^n\lt y^n$ entonces $x^{n+1}\lt y^{n+1}$ (de nuevo, explicitando dónde se utiliza la hipótesis de positividad).

Observación: En general, es una buena idea, tanto al escribir como al leer una prueba, preguntarse cuáles son las hipótesis y en qué parte de la prueba se utilizan. A veces ocurre que una prueba no utiliza una hipótesis, aunque sea tácitamente, lo que a veces significa que la hipótesis era innecesaria ¡y a veces significa que la prueba es errónea!