Superficies no separables y la 2ª homología de un $3-$ colector

Question

Tengo una pregunta sobre la relación entre las superficies no separables y la 2ª homología no trivial de un 3manifold. La pregunta es:

Dejemos que $\Sigma$ sea una superficie cerrada no separable incrustada en una superficie cerrada $3-$ colector $M,$ ¿es cierto que $\Sigma$ representa un elemento no trivial en $H_{2}(M; \mathbb{Z}_{2})$ ? Y por otro lado, ¿es cierto que todo elemento no trivial en $H_{2}(M;\mathbb{Z}_{2})$ puede representarse mediante una superficie no separadora en $M$ ?

Answer 1

La respuesta es sí.

De hecho, existe una construcción debida a Stallings que permite construir superficies no separadas de esta manera.

Toma un $3$ --manifold $M$ que es compacto y mira $f:M\rightarrow S^{1}$ . Por la compacidad, sabemos que $H_{1}(M)$ tiene al menos un $\mathbb{Z}$ componente. En particular, el mapa $f_{*}$ puede definirse así, $f_{*}:H_{1}(M)\rightarrow H_{1}(S^1)=\mathbb{Z}$ . Ahora podemos ver una imagen inversa de un punto $a\in\mathbb{Z}$ es decir $f^{-1}(a)$ es una superficie y en particular hemos definido un elemento en $H^{1}(M)$ . Por dualidad, esto da un elemento en $H_{2}(M)$ que es distinto de cero y, por lo tanto, no se separa. He omitido algunos detalles, hazme saber si los necesitas y los completaré.