Implicación lógica de la forma $P\to P$

Question

Se dan dos proposiciones lógicas.

$$P:\ good\ books\ are\ not\ cheap\\ Q:\ cheap\ books\ are\ not\ good$$

Ahora se dan 3 declaraciones:

$A:\ P \ implies\ Q\\ B:\ Q\ implies\ P\\ C:\ P\ and\ Q\ are\ equivalent$

¿Cuál de estos 3 es/es cierto?

$i)\ Only\ A\\ ii)\ Only\ B\\ iii)\ Only\ C\\ iv)\ All\ of\ A,\ B\ and\ C$

Certainly option iii) i.e statement C is true. But I'm confused 
with option iv) also.

¿Esta implicación $P\to P$ ¿se mantiene?

Answer 1

Opción $iv$ es correcto aquí.

P: "si x es un buen libro, entonces x no es barato" es equivalente a Q: "si x es barato, entonces x no es un buen libro", ya que cada una es la contrapositivo del otro.

$$\text{Recall: }\;P \rightarrow Q \iff \lnot Q \rightarrow \lnot P$$

Por lo tanto, cada uno implica al otro: lo que a menudo se denota por $P\iff Q$ : esto es simplemente una forma concisa de decir $(P \rightarrow Q) \land (Q\rightarrow P)$ .

Más fuerte se pone, $P$ y $Q$ son equivalentes.

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Sí, $P\rightarrow P$ . Esto es cierto para cualquier proposición $P$ ya que $P \rightarrow P \equiv \lnot P \lor P$ lo cual es una tautología.

Answer 2

Dos afirmaciones son equivalentes si y sólo si cada una implica a la otra. Por lo tanto, decir $P$ y $Q$ son equivalentes es decir que $P$ implica $Q$ y $Q$ implica $P$ .

También, $P\rightarrow P$ siempre es cierto.