¿Es la medida de Dirac una derivada débil de la función?

Question

Mi pregunta precisa,: ¿Existe alguna función medible $\omega:\mathbb R\to \mathbb R$ tal que para toda función suave compactamente soportada $\phi \in C_c^\infty(\mathbb R),$ $$ \int_\mathbb R \phi(x) \omega(x) dx = \int_\mathbb R \phi(x) \,\delta(dx):= \phi(0).$$

En otras palabras, esto podría ayudar a demostrar que la derivada débil de la función de Heaviside no existe. Heaviside se define como $$ H(x) = 1 ~\text{if}~ x>0~ \text{and} ~0 ~~~\text{elsewhere} $$

Answer 1

El primer título del post contenía una pregunta sobre si una medida de Dirac es o no absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. He abordado esta cuestión, que ahora, tras el cambio de título, es inactual.

Con respecto a la pregunta dada en el título del post, la medida de Lebesgue de un singleton $\{x\}$ es cero, mientras que su medida de Dirac $\delta_x$ es $1$ . Por eso la medida de Dirac no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.