Construir un ejemplo de espacio topológico $A$ tal que $H_4(A;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2$

Question

Construir un ejemplo de espacio topológico $A$ tal que $$H_n(A;\mathbb{Z})= \begin{cases} \mathbb{Z} & \text{ if } n=0 \\ \mathbb{Z}/2 & \text{ if } n=4 \\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}.$$

Desde $H_0(A)=\mathbb{Z}$ entonces $A$ tiene que estar conectado al arco, he pensado en utilizar la sucesión de Mayer Vietoris para construir este ejemplo $$...\to H_4(U\cap V)\to H_4(U)\oplus H_4(V)\to H_4(A)\to H_3(U\cap V)\to H_3(U)\oplus H_3(V)\to...$$ pero no sé cómo tomar $U\subset A$ y $V\subset A$ o cómo puedo hacer esto, ¿alguna idea? Gracias.

Answer 1

Desde $H_0(\Bbb R\Bbb P^2;\Bbb Z)=\Bbb Z$ y $H_1(\Bbb R\Bbb P^2;\Bbb Z)=\Bbb Z/2\Bbb Z$ puedes suspender este espacio unas cuantas veces.

En general, supongamos que $G=\langle R | S\rangle$ es una presentación de grupo para un abeliano $G$ puede construir un $2$ -complejo CW conectado de una dimensión $X$ con $H_1(X;\Bbb Z)=G$ escogiendo una cuña de tantos $S^1$ como elementos de $R$ orientando cada círculo, y fijando uno $2$ -para cada relación en $S$ "a lo largo de la relación".

La suspensión de un espacio de este tipo da lugar a un espacio con un solo grupo de homología prescrita no trivial, y la unión de muchos espacios de este tipo es una forma de construir un espacio con homología prescrita en todas las dimensiones.

Answer 2

Toma $S^4$ como un complejo celular y pegar un disco $D^5$ para que $f:\partial D^4 \to S^4$ es un mapa de grado $2$ . Para demostrar que dicho mapa existe, podría necesitar algún argumento de suspensión como el anterior.

Entonces, utilizando la homología celular, el complejo es $$0 \to \mathbb Z \to_{\times 2}\mathbb Z \to 0 \dots \to 0 \to \mathbb Z \to 0.$$