Convertir los planos afines en planos proyectivos

Question

¿Cómo podemos demostrar que un plano afín de orden $n$ siempre puede convertirse en un plano proyectivo de orden $n$ ?

Digamos que empiezo con un plano afín, y lo divido en $n+1$ clases paralelas, añadir un punto $\infty_i$ a cada clase $C_i$ , extienda cada línea en $C_i$ para contener $\infty_i$ y, por último, conectar todos los " $\infty_i$ " en una línea. Creo que estoy en el camino correcto con esta construcción. ¿Podría alguien utilizar este inicio para quizás completar la pregunta?

Answer 1

Como ejemplo mostremos que dos líneas cualesquiera, $L_1$ y $L_2$ de su plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto.

Si uno de ellos, digamos $L_1$ está formado únicamente por los puntos en el infinito, entonces $L_2$ interseca el plano afín a lo largo de una línea $L_2'$ . Por lo tanto, $L_2$ contiene exactamente un punto infinito, el asociado a todas las líneas afines paralelas a $L_2'$ . Por lo tanto, $L_1\cap L_2$ es un singleton.

Si ambos $L_1$ y $L_2$ intersecan el plano afín (a lo largo de las líneas $L_1'$ y $L_2'$ ), entonces hay dos posibilidades. Si $L_1'$ y $L_2'$ no son paralelas, entonces se cruzan en un punto finito. Lo mismo ocurre entonces con $L_1$ y $L_2$ ya que los infinitos puntos son distintos (por no ser paralelos). En cambio, si $L_1'$ y $L_2$ ' son paralelos, entonces no tienen ningún punto afín común. Pero entonces el mismo punto en el infinito se marca en ellos para obtener las líneas $L_1$ y $L_2$ por lo que las líneas proyectivas se cruzan en un punto infinito.

Los demás axiomas de un plano proyectivo se verifican de la misma manera. Por ejemplo, se demostrar que hay una línea que pasa por cualquier par de puntos dividiéndola en casos separados según si ninguno, uno o ambos puntos son infinitos o afines.