Evaluar $\int {\sin \theta + \cos \theta \over \sqrt{\sin 2\theta} }d\theta$

Question

$$\int {\sin \theta + \cos \theta \over \sqrt{\sin 2\theta} }d\theta$$

---

Después de simplificar obtengo,

$${1\over \sqrt{2}}\int {\tan \theta + 1 \over \sqrt{\tan \theta}} d\theta$$

Sustituyendo $u = \tan \theta$

$${1\over \sqrt{2}}\int {u + 1\over \sqrt{u}(1 + u^2)} du$$

Sustituyendo $t^2 = u$

$${\sqrt{2}}\int {t^2 + 1\over (1 + t^4)} dt = \sqrt{2} \int {1 + 1/t^2 \over(t - 1/t)^2 + 2 }dt$$

Sustituyendo $z = t - 1/t$

$$\sqrt{2} \int {1\over z^2 + 2 }dz = \arctan\left(\tan \theta - 1\over \sqrt{2\tan \theta} \right) + C = {\arcsin(2\sqrt{\sin2\theta} (\sin\theta - \cos \theta))\over 2} + C$$

Que está lejos de ser la respuesta correcta de $\arcsin(\sin \theta - \cos \theta) + C$ .

¿En qué me he equivocado?

Editar :

Me gustaría saber en qué me equivoco más que saber cómo resolver el problema.

Answer 1

Pista -

Poner $\sin\theta - \cos \theta = t$

$(\cos \theta + \sin \theta)d\theta = dt$

También en la cuadratura de la ecuación anterior,

$\sin^2\theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = t^2$

$1 - \sin2\theta = t^2$

$\sin2\theta = 1 + t^2$

Entonces la integral dada se convierte en,

$\int \frac{1}{\sqrt {1+t^2}} dt$

Espero que ahora sea fácil de resolver.

Answer 2

Una pista:

Pruebe la sustitución $u=\sin 2\theta$ .

Answer 3

Su factor antes de $\arctan$ debe ser $1$ en lugar de $1/2$ ; salvo eso, tu antiderivada es correcta. El error está en la conversión a $\arcsin$ . Si utiliza $\arctan \alpha = \arcsin(\alpha/\sqrt{\alpha^2+1})$ , obtendrá la respuesta correcta.

Actualización: Ahora que se ha eliminado el factor 1/2, las cosas están bien hasta ese punto. Y en realidad el último paso es casi También está bien. (Antes lo descarté demasiado rápido).

La pregunta sólo tiene sentido en un intervalo en el que $\sin 2\theta \ge 0$ , digamos que $0 \le \theta \le \pi/2$ y la respuesta $A=\arcsin(\sin\theta-\cos\theta)$ es correcta en todo ese intervalo, como se comprueba fácilmente por diferenciación (y nótese también que $|\sin\theta-\cos\theta| \le 1$ en ese intervalo).

Ahora parece que su expresión $B$ en realidad coincide con la expresión $A$ en el subintervalo $\pi/12 \le \theta \le 5\pi/12$ mientras que $B=\text{const.}-A$ en los intervalos $0\le \theta \le \pi/12$ y $\le 5\pi/12 \le \theta \le \pi/2$ . No me he molestado en analizar por qué ocurre esto, simplemente me dio pereza y miré parcelas de $A \pm B$ . Pero seguramente (como señaló Barry Cipra) tiene algo que ver con las propiedades de las funciones trigonométricas inversas; por ejemplo $\arcsin(\sin x) = \pi-x$ si $\pi/2 \le x \le \pi$ .

Answer 4

Parece que hay dos errores, ambos en la última ecuación mostrada. El primero,

$$\sqrt2\int{1\over z^2+2}dz=\arctan\left(z\over\sqrt2\right)+C=\arctan\left(\tan\theta-1\over\sqrt{2\tan\theta}\right)+C$$

(es decir, el $1\over2$ de la arctan no pertenecía allí). Y en segundo lugar, cuando conviertes arctan a arcsin, realmente obtienes $\arcsin(\sin\theta-\cos\theta)$ . No sé cómo has conseguido $\arcsin(2\sqrt{\sin2\theta}(\sin\theta-\cos\theta))$ pero se puede ver que es errónea porque no difiere en una constante de $\arctan((\tan\theta-1)/\sqrt{2\tan\theta})$ para todos $0\lt\theta\lt\pi/2$ ya que ambos son iguales $0$ en $\theta=\pi/4$ , mientras que $\arcsin(2\sqrt{\sin2\theta}(\sin\theta-\cos\theta))=0$ como $\theta\to0$ mientras que

$$\arctan\left(\tan\theta-1\over\sqrt{2\tan\theta}\right)\to-{\pi\over2}\quad\text{as }\theta\to0$$

Mi recomendación es que vuelvas a intentar la conversión arctan/arcsin, y si sigues sin obtener la respuesta correcta, publica tu trabajo para esa parte de la derivación y envíame un comentario para que pueda echarle un vistazo.

(Observación, añadida después de la publicación: Estaba fuera de línea componiendo esto, y no vi la respuesta de Hans Lundmark hasta ahora).

Añadido en respuesta al comentario del OP : Es cierto que $y=\arctan((\tan\theta-1)/\sqrt{2\tan\theta})$ implica $\tan y=(\tan\theta-1)/\sqrt{2\tan\theta}$ pero es no siempre es cierto que $\sin2y=2\tan\theta/(1+\tan^2\theta)$ implica $y={1\over2}\arcsin(2\tan\theta/(1+\tan^2\theta))$ . En general, si $f$ es cualquiera de las funciones trigonométricas (sen, cos, tan, etc.), y $g$ es su inversa (arcsin, arccos, arctan, etc.), entonces $f(g(x))=x$ siempre es cierto, pero $g(f(x))=x$ es no siempre es cierto. En otras palabras, al convertir de arctan a arcsin, no se puede trabajar de manera puramente formal; hay que considerar los rangos y dominios de las funciones.