Números reales construibles

Question

Estoy tratando de entender los números construibles. Sé que un número real $r$ es construible si se puede calcular a partir de 0 y 1 mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y sacando raíces cuadradas. Así, por ejemplo, $\sqrt{2}$ es construible, ya que $$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ Ahora estoy tratando de probar lo siguiente:

Demostrar que es posible construir un ángulo $\alpha$ con la ayuda de una regla y un compás si y sólo si $\sin{\alpha}$ o $\cos{\alpha}$ es un número real construible.

Entonces, supongamos que $\alpha$ es un número construible. No estoy seguro de a dónde ir desde aquí...

Por otro lado, supongamos que $\sin{\alpha}$ o $\cos{\alpha}$ es un número construible. Sé que tenemos $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ . Todavía estoy confundido sobre dónde ir.

Mi problema es el siguiente: ¿cómo puedo demostrar que si $\alpha$ es construible, entonces $\sin{\alpha}$ ¿es construible?

Answer 1

Queremos demostrar, entre otras cosas, que si el número $\sin\alpha$ es un "número construible", entonces es posible construir con regla y compás un ángulo de medida $\alpha$ . Obsérvese que "construible" y "construir" tienen significados diferentes. El término "construible" es fundamentalmente algebraico, mientras que "construir" es puramente geométrico. Este vínculo entre el álgebra y la geometría es lo que permite demostrar, por ejemplo, que el $60^\circ$ El ángulo no es trisecable con regla y compás.

Comenzamos con la suposición de que nos dan dos puntos en el plano, la distancia $1$ aparte. Necesitamos demostrar el siguiente lema, que no es difícil de demostrar, pero requiere un par de páginas de trabajo geométrico.

Lema: Supongamos que podemos construir con regla y compás dos puntos que estén a una distancia $x$ y también dos puntos que están a una distancia $y$ de distancia. Entonces podemos construir dos puntos que estén a (i) distancia $x+y$ de distancia; (ii) la distancia $|x-y|$ de distancia; iii) la distancia $xy$ de distancia; iv) la distancia $\frac{x}{y}$ aparte (si $y\ne 0$ ); (v) la distancia $\sqrt{xy}$ aparte.

Supongamos ahora que $\sin\alpha$ es un número construible, donde suponemos $0\lt\sin\alpha\lt 1$ . Queremos construir el ángulo $\alpha$ entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$ .

Por el lema anterior podemos construir mediante regla y compás los puntos $P$ y $Q$ tal que la distancia de $P$ a $Q$ es $\sin\alpha$ . Dibuja un círculo con centro $P$ y el radio $1$ . Dibuja la línea $\ell$ a través de $Q$ perpendicular a $Q$ y supongamos que la línea $\ell$ se encuentra con el círculo en el punto $R$ . Entonces $\angle RPQ=\alpha$ .

Para la pregunta concreta que has hecho, que es más fácil, hay que trabajar en la otra dirección. Supongamos que podemos construir, con regla y compás, un ángulo $\alpha$ es decir, un punto $P$ y dos rayos a través de $P$ tal que el ángulo entre los rayos es $\alpha$ . Entonces (si $0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}$ ) podemos dibujar un triángulo rectángulo $PQR$ que tiene $\alpha$ como uno de sus ángulos. Entonces $\sin\alpha=\frac{QR}{PR}$ . Ahora tenemos que demostrar que $QR$ y $PR$ son números construibles. Para ello demostramos que cualquier segmento $XY$ construible con regla y compás a partir de un segmento de longitud $1$ tiene una longitud de un número construible. Para ello hacemos una inducción sobre la longitud de la construcción. Se necesitan dos hechos de geometría analítica. (a) Sea $\ell_1$ sea una recta que pasa por dos puntos cuyas coordenadas son números construibles, y sea $\ell_2$ también sea una línea de este tipo. Entonces las coordenadas del punto de intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ son números construibles. (b) Sea $\ell$ sea una recta con ecuación cuyos coeficientes son números construibles, y $C$ un círculo cuya ecuación tiene coeficientes construibles, entonces los puntos de intersección de $\ell$ y $C$ tienen coordenadas construibles.