Probando: Si una función está acotada, entonces el límite de la función está acotado.

Question

La pregunta que tengo que responder es la siguiente:

Sea I un intervalo abierto que contiene el punto c y supongamos que f es una función que está definida en I excepto posiblemente en el punto c. Si $m \le f(x) \le M$ para todos $x \in I\setminus \{c\}$ y $\lim_{x \to c} f(x) = L$ entonces $m \le L \le M$ .

Utilizando el $\epsilon$ - $\delta$ definición del límite de una función, mi pensamiento inicial fue demostrarlo usando la contradicción. Es decir, suponer que $L<m$ o $L>M$ y llegar a una contradicción. Estoy teniendo problemas para pensar en una forma de llegar a una contradicción. Si alguien puede ayudarme a orientarme en la dirección correcta, sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

A menudo encuentro que la prueba por contradicción es conveniente, pero tengo preferencia por un enfoque "constructivo", que a menudo permite una mayor intuición.

Supongamos que $f(x) \in [m,M]$ para todos $x \in I \setminus \{c\}$ y $\lim_{x \to c} f(x) = L$ .

Por definición, para todo $\epsilon>0$ hay algo de $\delta>0$ de manera que si $0<|x-c|<\delta$ entonces $|L-f(x) | < \epsilon$ . Desde $f(x) \in [m,M]$ tenemos $m-\epsilon < L < M +\epsilon$ .

Como esto es cierto para cualquier $\epsilon>0$ tenemos $m \le L \le M$ .