¿Se mantiene la independencia lineal con el producto semidefinido positivo

Question

Dejemos que $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ sea $m\times n$ matrices reales con $m\geq n$ y $\mathbf{\Sigma}$ ser un $n\times n$ matriz simétrica positiva definida. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?

Si no existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $$\mathbf{A}\mathbf{A}'=\lambda \mathbf{B}\mathbf{B}',$$ entonces no existe $\delta\in\mathbb{R}$ tal que $$\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{A}'=\delta\mathbf{B}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B}'$$

La afirmación es trivialmente cierta cuando $n=1$ . No he podido encontrar un ejemplo en el que falle, ni he podido demostrar que se cumple universalmente. Sospecho que podría demostrarse que es verdadero/falso descomponiendo $\mathbf{\Sigma}$ utilizando una descomposición Cholesky o de valores propios, pero no pudo llegar a una conclusión.

Answer 1

Para simplificar, limitemos nuestra atención al caso de que $m = n$ y que $B$ es invertible. Asumo que $(-)'$ significa la transposición, que escribiré $(-)^T$ . Entonces

$$A A^T = \lambda B B^T \Leftrightarrow B^{-1} A A^T (B^T)^{-1} = \lambda$$

donde por $\lambda$ Es decir $\lambda$ por la matriz de identidad, y de forma similar

$$A \Sigma A^T = \delta B \Sigma B^T \Leftrightarrow B^{-1} A \Sigma A^T (B^T)^{-1} = \delta \Sigma.$$

Ahora podemos eliminar una variable escribiendo $C = B^{-1} A$ para que $C^T = A^T (B^T)^{-1}$ la pregunta es, si no existe $\lambda$ tal que

$$C C^T = \lambda$$

entonces también es cierto que no existe $\delta$ tal que

$$C \Sigma C^T = \delta \Sigma.$$

Esto es falso. La primera condición dice que $C$ no es una matriz ortogonal hasta la escala, o, equivalentemente, que los valores singulares de $C$ no son todos iguales. Y la segunda dice algo similar, pero con respecto a una forma cuadrática diferente, a saber, la dada por $\Sigma$ . Y ciertamente es posible que una matriz sea ortogonal con respecto a una forma cuadrática pero no a otra. Explícitamente, tomemos $n = 2$ y

$$\Sigma = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right], C = \left[ \begin{array}{cc} 2 \cos t & 2 \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array} \right].$$

Entonces podemos tomar $\delta = 4$ . Espero que ahora esté muy claro.