Dejemos que $S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$ y $S^1=\{(s,t)\in \mathbb{R}^2|s^2+t^2=1\}$ . Supongamos que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ actúa sobre $S^2\times S^1$ de tal manera que el generador de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ mapas $$ (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z) \ \ \ and \ \ \ (s,t)\mapsto (-s,t) $$ (Tenga en cuenta que $t$ es invariable). Me gustaría saber cuál es el espacio cociente libre $(S^2\times S^1)/\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ parece. Como la acción preserva la orientación de $S^2\times S^1$ debe estar orientado a 3 manificios.
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gabr
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$S^2/\mathbb{Z}_2 \simeq \mathbb{R}P^2$ esta es la definición de espacio proyectivo.
$S^1/\mathbb{Z}_2 \simeq [0,1]$ . Si doblas el círculo, es homeomorfo a un segmento de línea.
El espacio resultante es $(S^2 \times S^1)/\mathbb{Z}_2 \simeq \mathbb{R}P^2 \times [0,1]$ .
Este 3manifold no está orientado ya que $\vec{x} \mapsto -\vec{x}$ preserva la orientación de $S^2$ .
