Estoy tratando de demostrar que $u(re^{i\theta}) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)r^{|n|}e^{in\theta}$ es la solución del problema de Dirichlet en el disco unitario si en la frontera del disco unitario tenemos la expansión en serie de Fourier de la función continua $f(\theta) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{in\theta}$ . Quiero demostrar que la solución encontrada de esta manera es armónica.
He demostrado que la ecuación de Laplace $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ puede reescribirse en coordenadas polares como $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}$ .
Tengo dos preocupaciones. En primer lugar, si establezco $f(\theta) = e^{i\theta}$ o $f(\theta) = e^{-i\theta}$ Entonces me parece que $\Delta u$ no es cero.
En segundo lugar, cuando quiero comprobar en general que $\Delta u = \Delta \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)r^{|n|}e^{in\theta} = 0$ ¿hay una buena manera de justificar que puedo introducir el laplaciano en la suma?
