Supongamos que $A=A^{-1}$ para alguna matriz $A$ que no es la matriz identidad. Entonces demuestra que la traza de la matriz es igual a su determinante.
He demostrado que el determinante sólo puede ser +1 o -1. También como para cualquier valor propio de $A$ su cuadrado es el valor propio de $A^2$ también se cumple que todos los valores propios de $A$ son 1 o -1. También sé que la traza de una matriz es la suma de sus valores propios pero aún no puedo demostrar el resto. Por favor, ayuda.
Olvidé mencionar que la propiedad debe demostrarse para matrices involutorias no identidad. He editado la pregunta ahora.
Esta cuestión debe explicarse mejor, porque hay un grupo de matrices que se adaptan al problema. Ejemplos: $A=I$ , $A=-I$ , $A=\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \bigr)$ , $A=\bigl( \begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Pista: El polinomio característico de una matriz $B$ es $p(X) = X^d + (\operatorname{trace}B)X^{d-1} + \ldots + \det B$ .
0 votos
¿Te estás preparando para el IIT-JEE?