Dejemos que $p$ sea una función que sume divisores de algún número natural pero que no sume ese número.
Por ejemplo, tenemos $p(12)=1+2+3+4+6=16$ .
Podemos tomar eso $p(1)=1$ para evitar posibles dificultades posteriores.
Los números perfectos son puntos fijos de esta función, y para los primos tenemos $p(q)=1$ y $p(p(q)))=1$ si $q$ es un primo, por lo que, sobre perfectos y primos, esta función tiene un comportamiento muy sencillo.
Estaría bien saber cómo se comporta esta función con respecto a la iteración.
Así que definimos $p^{\circ}_k(n)=p(...p(n))$ ( $p$ aplicado $k$ veces sucesivamente).
Por ejemplo $12$ tenemos $p(12)=16$ y $p(16)=15$ y $p(15)=9$ y $p(9)=4$ y $p(4)=3$ y $p(3)=1$ , por lo que tenemos $p^{\circ}_l(12))=1$ por cada $l\geq 6$ .
Si tomamos algún número y aplicamos $p$ a ese número sucesivamente entonces pueden surgir dos tipos de comportamiento:
1) nos encontramos con un bucle de longitud $\geq 1$
2) escapamos hacia el infinito
Dado que el bucle parece difícil de detectar, me gustaría saber algo más sobre 2).
Al principio, surge naturalmente una pregunta:
¿Existe algún número natural para el que la aplicación sucesiva de una función $p$ ¿nunca hace un bucle? Es decir, expresado de otra manera, ¿hay alguna $n \in \mathbb N$ de tal manera que tenemos que $\{p(n),p^{\circ}_2,p^{\circ}_3,...\}$ no tiene límites?
