El módulo de todas las raíces de un polinomio es igual a $1$

Question

Supongamos que el número real $\lambda \in (0,1)$ y que $n$ sea un número entero positivo. Demostrar que todas las raíces del polinomio $$f\left ( x \right )=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\lambda^{k\left ( n-k \right )}x^{k}$$ tienen un módulo igual a $1.$

El problema de Putnam 2014 B4 es similar: Demuestre que para cada entero positivo $n,$ todas las raíces del polinomio $\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)}x^k$ son números reales.

Answer 1

La siguiente solución está tomada de Los módulos de un polinomio son iguales en AoPS. Para otras soluciones, véase Una familia de polinomios cuyos ceros se encuentran todos en el círculo unitario en Math Overflow.

La idea es derivar una fórmula de recursión para $$ f_n(z) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\lambda^{k(n-k)} z^k $$ y demostrar la afirmación por inducción. $\lambda$ es un número real fijo en el intervalo $(0, 1)$ .

$f_0(z) = 1$ y $f_1(z) = 1+z$ seguramente sólo tienen raíces de módulo uno.

Supongamos ahora que $n \ge 1$ y todas las raíces de $f_n$ tienen módulo uno. Utilizando la fórmula de recurrencia para los coeficientes binomiales $$ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} $$ se obtiene $$ f_{n+1}(z) = f_n(\lambda z) + \lambda^n z f_n(\frac{z}{\lambda}) \, . $$ Ahora dejemos que $z^*$ sea un cero de $f_{n+1}$ . Tenemos que demostrar que $|z^*| = 1$ . De la fórmula de recurrencia anterior obtenemos que $$ f_n(\lambda z^*) = - \lambda^n z^* f_n(\frac{z^*}{\lambda}) $$ Tenga en cuenta que $f_n(\frac{z^*}{\lambda})$ no puede ser cero: En caso contrario, ambos $\lambda z^*$ y $\frac{z^*}{\lambda}$ tendría módulo uno, lo que no es posible.

Denotando las raíces de $f_n$ con $z_1, \ldots z_n$ tenemos $f_n(z) = (z-z_1) \cdots (z-z_n)$ para que $$ z^* = - \frac{f_n(\lambda z^*)}{\lambda^n f_n(\frac{z^*}{\lambda})} = - \prod_{k=1}^n \frac{\lambda z^* - z_k}{z^* - \lambda z_k} $$ y por lo tanto $$ \tag{*} |z^*| = \prod_{k=1}^n \left |\frac{\lambda z^* - z_k}{z^* - \lambda z_k} \right | \, . $$ Un cálculo elemental (utilizando $|z_k|=1$ para todos $k$ ) muestra que $$ |\lambda z^* - z_k|^2 - |z^* - \lambda z_k|^2 = (1 - \lambda^2)(1 - |z^*|^2) \, . $$

De ello se deduce que si $|z^*| < 1$ entonces todos los factores del lado derecho de $(*)$ son mayores que uno, y si $|z^*| > 1$ entonces todos los factores del lado derecho de $(*)$ son menores que uno. Así que ambos casos conducen a una contradicción, y la única posibilidad es que $|z^*| = 1$ . Con esto concluye la prueba.

Answer 2

Escribe el polinomio anterior en la forma $a+bx+cx^2$ ... y observar que si ponemos $f(x)=0$ es lo mismo que poner $x^k f(1/x)=0$ {propiedad de los coeficientes binomiales y la potencia de lambda} concluyen que si $x$ es una raíz, entonces $1/x$ también tiene el mismo módulo. Por lo tanto, $|x|=1$