Tetraedros máximos inscritos en elipsoides

Question

Pietro Majer citó el teorema de Michel Chasles en su pregunta de MO, "Curvas convexas con muchos triángulos inscritos maximizando el perímetro," que establece que los triángulos de máximo perímetro inscritos en una elipse forman una familia de un parámetro, todos "triángulos billar." (Este teorema es un caso especial del Teorema 17.6.6 en el libro de Berger Geometry II, p.243, que establece el resultado para polígonos convexas.) Mi pregunta es si se conoce alguna generalización a dimensiones superiores, y en particular, si existe un teorema análogo para tetraedros inscritos en elipsoides en $\mathbb{R}^3$. Presumiblemente, la generalización afirmaría que hay una familia de dos parámetros de tetraedros de área superficial máxima inscritos en una elipse. No he encontrado un teorema así, y me gustaría saber si se conoce o no.
                 

Actualización. Aquí está el ejemplo de Henry Cohn, mostrando solo la rebanada de la elipse $z=0$ que contiene sus tetraedros máximos degenerados:
                 

Answer 1

No he demostrado nada, solo he realizado algunos experimentos numéricos, pero no creo que siempre haya una familia de tetraedros de área superficial máxima inscritos en una elipsoide (aunque sí se obtiene una familia de dos parámetros de tetraedros regulares inscritos en una esfera). Para la elipsoide definida por $x^2+2y^2+3z^2=1$, el área superficial máxima parece ser $2\sqrt{2}$, y se logra mediante la familia de tetraedros degenerados de un parámetro con vértices $\pm (\alpha,\sqrt{(1-\alpha^2)/2},0)$ y $\pm (-\sqrt{1-\alpha^2},\alpha/\sqrt{2},0)$ para $-1 \le \alpha \le 1$. Estos son los únicos tetraedros de área superficial máxima que mi programa encontró para esta elipsoide.