Ejemplos de mapeo abierto y cerrado

Question

Estoy buscando tres mapeos f:X a Y cualquier conjunto de topología en X o Y. así que muy flexible. ¿Pueden ayudarme a encontrar un ejemplo de una función que sea (a) continua pero no es un mapeo abierto o cerrado (b) abierta pero no cerrada o continua (c) cerrada pero no abierta de continua

Gracias a todos

Answer 1

CONSEJO: Si $X$ tiene la topología discreta, cada función de $X$ a $Y$ es continua, y todo subconjunto de $X$ es tanto abierto como cerrado. Si elige $Y$ para que tenga un subconjunto que no sea abierto y un subconjunto que no sea cerrado, no es difícil conseguir tu primer ejemplo. (Incluso se puede tomar $Y$ para ser $X$ con una topología diferente).

Supongamos que $f:X\to Y$ es una biyección abierta; entonces no es difícil demostrar que $f$ también está cerrado. Esencialmente, el mismo argumento demuestra que una biyección cerrada es siempre abierta. Por tanto, para los otros dos ejemplos no podemos utilizar biyecciones. Sin embargo, resulta que podemos utilizar una inyección.

Dejemos que $X=\{0,1\}$ con la topología indiscreta, dejemos que $Y=\{0,1,2\}$ con la topología de nido creciente

$$\tau=\big\{\varnothing,\{0\},\{0,1\},Y\big\}\;,$$

y que $f(0)=0$ y $f(1)=1$ Esto funcionará para uno de los otros dos ejemplos, y te dejo que descubras cuál es. Por último, puede utilizar $X$ y $Y$ y una inyección diferente de $X$ a $Y$ para obtener el ejemplo restante.