16 votos

Hay una forma cerrada de la ecuación de $n!$? Si no, ¿por qué no?

Sé que la secuencia de Fibonacci puede ser descrito a través de la Binet la fórmula.

Sin embargo, me preguntaba si había una fórmula similar para $n!$.

Es esto posible? Si no, ¿por qué no?

16voto

Justin Walgran Puntos 552

Si usted está dispuesto a aceptar una integral como una respuesta, a continuación,$n! = \int_0^\infty t^n e^{-t} \: dt$.

11voto

Michiel de Mare Puntos 15888

El error relativo de la aproximación de Stirling se pone arbitrariamente pequeño que n se hace más grande.

$$n!\sim\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Sin embargo, es sólo una aproximación, no de una forma cerrada de $n!$

8voto

bentsai Puntos 1886

El contraste de estos dos métodos para calcular n!:

  • Conteo de permutaciones de n elementos conjunto de uno-por-uno (esto es lo que n! cuenta), frente a
  • Multiplicando juntos los números 1,2,...,n.

Por lo tanto, n! representa un increíblemente eficiente método para el recuento de permutaciones! Así que yo creo (y creo que no soy el único) que n! probablemente debería ser considerado una forma cerrada (a menos que tenga otra definición clara de lo que constituye una forma "cerrada").

Para leer más, te recomiendo: H. S. Wilf, Lo que es una respuesta?, Amer. De matemáticas. Mensual, 89 (1982), pp 289-292, DOI: 10.2307/2321713, JSTOR.

4voto

Jon Clegg Puntos 661

Este es un riff de algunos de los comentarios acerca de lo que podría constituir una "respuesta" y lo que "forma cerrada" puede significar: a pesar de que es un poco chistoso, es la intención de preguntar pensamientos acerca de estos temas.

Nuestra base-10 número de sistema interpreta una cadena de ${a_n}{a_{n-1}} \cdots {a_0}$ como la suma de $\sum_{i=0}^{n} a_i 10^i $ (que puede ser, y es, calculada de forma recursiva como $a_0 + 10 \left( a_1 + 10 \left( \cdots + 10 a_n \right) \cdots \right)$). Si usted toma la primera a ser un aceptable "forma cerrada" de la representación, entonces, ¿por qué no usar una ligera modificación de este sistema de numeración? Específicamente, interpretar la misma cadena como igual a $a_0 + 2 \left( a_1 + 3 \left( \cdots + (n+1) a_n \right) \cdots \right)$ y requieren que el $0 \le a_0 \le 1, 0 \le a_1 \le 2, \ldots, 0 \le a_n \le n$. En este "factorial" sistema de número, $n! = 10 \cdots 0$ es representado como un simple $n$-cadena de dígitos: es "cerrado"!

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