Métrica en el cono de un espacio métrico compacto

Question

Se sabe que si $X$ es un espacio métrico compacto (con métrica acotada), entonces su cono $CX$ (el cociente $X \times [0,1] / X \times \{1\}$ ) es metrizable.

¿Existe una forma de proporcionar una métrica explícita sobre $CX$ que induce su topología habitual? He estado pensando en ello pero el vértice del cono parece ser muy problemático cuando se trata de la desigualdad del triángulo en una métrica potencial.

Answer 1

He aquí un enfoque alternativo para encontrar una métrica explícita en el cono $CX$ .

Supongamos primero que $X$ es un subconjunto de un espacio lineal normado $(E, \lVert - \rVert)$ y la métrica $d$ en $X$ viene dada por $d(x,y) = \lVert x - y \rVert$ . Definir el cono geométrico en $X$ como el subconjunto $C'X \subset E' = E \times \mathbb R$ se obtiene tomando la unión de todos los segmentos de líneas $L(x) = \{((1-t)x,t) \mid t \in I \} \subset E'$ , $x \in X$ , conectando $(x,0)$ con $(0,1)$ . En otras palabras $$C'X = \{(1-t)x,t) \mid x \in x, t \in I \} .$$ Entonces $C'X$ es un subconjunto del espacio lineal normado $(E', \lVert - \rVert')$ donde $\lVert (x,t) \rVert' = \lVert x \rVert + \lvert t \rvert$ y por lo tanto hereda una métrica $d'$ dado por $d'((x,t),(y,s)) = \lVert ((x,t) - (y,s)) \rVert' = \lVert (1-t)x -(1-s)y \rVert + \lvert t - s \rvert$ .

Ahora defina $$\varphi : X \times I \to C'X, \varphi(x,t) = ((1-t)x,t).$$ Se trata de un mapa continuo tal que $\phi(X \times \{ 1\}) = \{ (0,1) \}$ por lo que induce a un continuo $\phi : CX \to C'X$ que obviamente es una biyección. Si $X$ es compacto, entonces $\phi$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, $CX$ se puede dotar de la métrica $$D([x,t],[(y,s]) = \lVert (1-t)x -(1-s)y \rVert + \lvert t - s \rvert$$ que induce su topología habitual.

Ahora dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico con una métrica acotada $d$ . Si $X$ es compacto, entonces $d$ está automáticamente acotada. Sea $C_b(X)$ sea el espacio vectorial de todos los mapas continuos acotados $f :X \to \mathbb R$ que está dotado de la $\sup$ -norma $\lVert f \rVert = \sup_{x\in X} \lvert f(x) \rvert$ . Es bien sabido que $(X,d)$ se incrusta isométricamente en $(C_b(X),\lVert - \rVert)$ a través de $x \mapsto e(x) = d(x,-) : X \to \mathbb R$ . La prueba es sencilla. Identificando $X$ con $e(X) \subset C_b(X)$ nuestra construcción anterior da lugar a un cono geométrico $C'X$ con la métrica $d'$ . Si $X$ es compacta, se obtiene la siguiente métrica sobre $CX$ :

$$D([x,t],[y,s]) = \sup_{z \in X} \lvert (1-t)d(x,z) - (1-s)d(y,z) \rvert + \lvert t -s \rvert .$$

Hay que reconocer que es menos transparente que la solución de Eric Wofsey.

Terminemos con una observación sobre el cono geométrico. Si $X$ no es compacto, entonces $C'X$ no es homeomorfo a $CX$ . De hecho, $CX$ no tiene una base vecina contable en su extremo mientras que $C'X$ es primero contable. Véase mi respuesta a Definición equivalente $\text{Cone}(K)$ que se puede generalizar al presente caso.

No obstante, $C'X$ tiene algunas características esenciales atribuidas a un cono: Es contráctil y la inclusión $X \to C'X, x \mapsto (x,0)$ es una cofibración.

Answer 2

Sólo hay que seguir la idea geométrica de un cono, en el que las copias $X\times\{t\}$ de $X$ encoger como $t$ se acerca a $1$ . Así que, concretamente, si $d$ es una métrica en $X$ tal que $d(x,y)\leq 2$ para todos $x,y\in X$ definamos una métrica $d'$ en $CX$ por $$d'((x,s),(y,t))=(1-\max(s,t))d(x,y)+|t-s|.$$ Nótese que esto está bien definido ya que si $s$ o $t$ es $1$ entonces los valores de $x$ y $y$ no importan, y es fácil comprobar que satisface la desigualdad del triángulo. La intuición aquí es que para $t\geq s$ encontramos la distancia de $(x,s)$ a $(y,t)$ viajando primero desde $(x,s)$ hasta $(x,t)$ (una distancia de $|t-s|$ ) y luego viajar desde $(x,t)$ a $(y,t)$ que es una distancia $(1-t)d(x,y)$ ya que la métrica en $X\times\{t\}$ se escala por un factor de $1-t$ . La suposición de que $d\leq 2$ garantiza que este proceso es la "distancia más corta" entre $(x,s)$ y $(y,t)$ cuando se permite hacer cualquier secuencia de movimientos horizontales y verticales dentro del cono, de modo que la desigualdad del triángulo se mantiene. (Como señaló Paul Frost, si $d$ puede ser mayor que $2$ En cambio, en algunos casos la distancia más corta sería ir directamente en vertical hasta la punta del cono y luego volver a bajar).

Ahora dejemos que $C'X$ denotan $CX$ con esta métrica; queremos mostrar el mapa de identidad $CX\to C'X$ es un homeomorfismo (donde $CX$ tiene la topología del cociente). En primer lugar, el mapa de identidad es continuo ya que el mapa de cociente $X\times[0,1]\to C'X$ se ve fácilmente que es continua. Pero entonces $CX$ es compacto y $C'X$ es Hausdorff, por lo que el mapa de identidad $CX\to C'X$ es automáticamente un homeomorfismo, siendo una biyección continua.

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Nótese que, de forma mucho más general, cualquier cociente de Hausdorff de un espacio métrico compacto es automáticamente metrizable. Véase ¿El cociente de un espacio métrico compacto es metrizable (cuando es Hausdorff)? para las pruebas, aunque estas pruebas no dan una métrica particularmente explícita.