¿Cómo saber qué valor es mayor?

Question

Que es más grande entre $2018^{2019}$ o $\ 2019^{2018}\ $ ?

Al tomar los registros de ambos lados y obtengo:

$2019\log(2018)\ $ y $\ 2018 \log(2019)$

Lo sé. $\log 2019\gt \log 2018$ Entonces, ¿significa esto que $2019^{2018}$ ¿es el más grande? ¿Y lo he hecho bien?

Answer 1

Una pista: $f(x)=\ln x/x$ es decreciente para $x>e$ .

Answer 2

No, $\log 2019>\log 2018$ es simplemente equivalente a $2019>2018$ por monotonicidad del logaritmo, y esto no demuestra la afirmación.

Answer 3

Tu idea de tomar el logaritmo de ambas expresiones es buena. Ahora \begin {align} 2019 \cdot\log 2018&= \color {azul}{2018 \cdot\log 2018}+ \log2018\tag1\\ [2em] 2018 \cdot\log 2019 &=2018 \cdot\log \left (2018 \cdot {2019 \over2018 } \right ) \\ &= 2018 \cdot ( \log 2018 + \log {2019 \over 2018}) \\ &= \color {azul}{2018 \cdot\log 2018}+2018 \cdot\log\left ({2019 \over 2018} \right ) \tag2 \end {align}

Como ambos $(1)$ y $(2)$ tienen su primer sumando (en azul) igual, lo que es mayor:

$$\log2018,\ \text{or}\tag3$$ $$2018\cdot\log\left({2019\over 2018}\right)\ ?\tag4$$