La probabilidad de un error de bit en una línea de comunicación es $10^{-5}$ por bit. Supongamos que examinamos una cadena de $1000$ bits independientes. Calcule la probabilidad de $0$ , $1$ , $2$ y $3$ errores en la cadena usando la teoría de Poisson y usando la teoría binomial. Compara los resultados.
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distribución binomial: $P(X=x)={n \choose x}\cdot p^x\cdot (1-p)^{n-x}$
$n=1000; p=10^{-5}, 1-p=1-10^{-5}$
distribución de Poisson: $P(X=x)=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^x}{x!}$
$\lambda=n\cdot p=10^{-5}\cdot 1000=\frac{1}{100} $
Ambas distribuciones pueden ser aproximadas por la distribución normal. En el caso de una variable con distribución binomial: $$P(X=x)=\Phi \left( \frac{x+0.5-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}} \right)-\Phi \left( \frac{x-0.5-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}} \right)$$
$\Phi(\cdot )$ es la función acumulativa de la distribución normal estándar
En el caso de una variable con distribución poisson: $$P(X=x)=\Phi \left( \frac{x+0.5-\lambda}{\sqrt{\lambda}} \right)-\Phi \left( \frac{x-0.5-\lambda}{{\sqrt{\lambda}}} \right)$$
Existen algunas condiciones de aproximación. Son sólo reglas de oro.
Distribución binomial: $n\cdot p\geq 10$ y $n\cdot (1-p)\geq 10$
Distribución de Poisson: $\lambda >10$
