Se busca: Polinomio $P(x)$ con $P(-l(l+1))=1/(2l+1)$ , para $l\in \mathbb{N}$

Question

Estoy buscando un polinomio

$P(x)=a_1+a_3 x+ a_5 x^2+\dots$

(numeración de $i$ en $a_i$ se debe a la aplicación de este) con puntos de muestreo

$P(-l(l+1))=\frac 1{2l+1}$ , para $l=1,2,3,\dots$

Al cortar $i$ en $P(x)$ y el número de puntos de muestreo $l$ en algunos $N$ El $a_i$ se puede encontrar a través del correspondiente $NxN$ Matriz de Vandermonde. Por ejemplo, para $N=2$ se encuentra $a_1=\frac 2 5$ y $a_3=\frac 1{30}$ . Para $N\rightarrow \infty$ El $a_i$ parecen converger (véase el gráfico).

coeficientes de $P(x)$ en $N$

Para $N=1,2,3,4..$ se encuentra $a_1=\frac 1 3, \frac 2 5, \frac 3 7, \frac 4 9, ...$ que obviamente converge a $\frac 1 2$ . Sin embargo, para los mayores $a_i$ No puedo ver ningún patrón. ¿Hay alguna manera de calcular el $a_i$ ?

[Por cierto, los puntos de muestreo están todos en la curva $f(x)=\frac 1 {\sqrt{1-4x}}$ .]

Answer 1

No hay ningún polinomio finito $P$ que te da todos los puntos que quieres, ya que la función $f(x)$ los puntos se muestrean desde tiene asíntota horizontal como $x \rightarrow - \infty$ . (Los polinomios no tienen asíntotas).

Tampoco es posible encontrar una serie de Taylor para $f$ que converge en toda la recta real, ya que $f$ no se define en $x = 1/4$ y, por tanto, la serie de Taylor sobre cualquier punto $a < 1/4$ tendrá un radio de convergencia como máximo $\lvert a - 1/4 \rvert$ . Así que lo mejor que se puede hacer es aproximarse a un número finito (pero arbitrario) de puntos de muestreo para cualquier elección de coeficientes $a_i$ .