¿Cómo lo escribo como una suma de un vector y otro vector en el complemento ortogonal de un espacio vectorial generado?

Question

Deja $$U = \left\{ \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ -2\end{bmatrix}\right\},\qquad v =\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}.$$

Escribe $v$ como la suma de un vector en $W = \operatorname{span}(U)$ y el otro vector en el complemento ortogonal de $\operatorname{span}(U)$.

Estoy realmente perdido en clase. Ni siquiera sé por dónde empezar. Por favor muestra los pasos y respuestas para el problema de ejercicio para que pueda aprender. Gracias

Answer 1

1. Lo que quieres lograr es escribir $v=a+b$ donde $a$ y $b$ son ortogonales (es decir, $a\cdot b=0$) y $a\in W$. Esto se puede lograr escribiendo $a=\operatorname{proj}_U(v)$ y luego $b=v-a.
2. También podemos escribir $$a=\operatorname{proj}_U(v)=\operatorname{arg min}\limits_x \left\|Ax-v\right\|^2,$$ donde $A$ tiene como columnas los vectores base para $W$, es decir $$A=\begin{bmatrix}3&2\\4&1\\5&-2\end{bmatrix}.$$ Sin embargo, hay que tener en cuenta que los vectores base para $W$ son ortogonales, lo que hace de $W$ un conjunto ortogonal. Definimos $w_1=[3,4,5]^T$ y $w_2=[2,1,-2]^T$. Es fácil demostrar que $w_1\cdot w_2=0$ para verificar esta afirmación. Esto simplifica significativamente el cálculo de $a$ a ser $a=c_1w_1+c_2w_2$, donde $$c_1=\frac{v\cdot w_1}{\|w_1\|^2}\text{ y }c_2=\frac{v\cdot w_2}{\|w_2\|^2}.$$
3. Con estos cálculos, obtenemos $c_1=\frac{26}{50}$, $c_2=\frac{-2}{9}$, lo que da como resultado $$ a=\left[\frac{251}{225},\frac{418}{225},\frac{137}{45}\right]^T\text{ y }b=\left[\frac{-26}{225},\frac{32}{225},\frac{-2}{45}\right]^T. $$ Ahora es fácil verificar que $v=a+b$, $a\cdot b=0$ y $a\in W$, que eran las conclusiones deseadas.