¿Por qué la topología débil nunca es metrizable?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio normado de dimensión infinita. ¿Por qué la topología débil en $X$ ¿nunca es metrizable? He visto una prueba aquí pero no entiendo muy bien el argumento. Este es su argumento

Supongamos que existe una métrica $d$ en $X$ induciendo la topología débil, y considerar $U_n:=\{x\in X: d(x,0)<\frac{1}{n}\}$ . Conocemos cada $U_n$ es débilmente abierto y, por tanto, no tendrá límites, y por lo tanto $$\forall (n)\exists (x_n\in U_n) \:\text{s.t.}\: \|x_n\|\geq n$$ Pero $x_n\to 0$ en $(X, d)$ para que $x_n \stackrel{w}{\to}0$ y por lo tanto $(x_n)$ está acotado. Contradicción.

Q1) Por qué $U_n$ ¿está débilmente abierto? ¿Es porque una base de la topología débil es de la forma $$\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X, \varepsilon>0 \}$$ donde $$B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\} \ ?$$

Q2) ¿Por qué $U_n$ sin límites ? Ya que $U_n\subset B(0,1)$ para todos $n\geq 1$ entonces $U_n$ está acotado (para mí, en un espacio métrico $(X,d)$ , un conjunto $A$ está acotado, si está incluido en una bola $B_d(a,\varepsilon)$ ... ya que aquí $U_n\subset B_d(0,1)$ para todos $n\geq 1$ debería estar acotado). Realmente no entiendo el argumento aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que necesitamos $X$ para que sea de dimensión infinita. Ya que si $X$ es de dimensión finita, sólo hay una topología vectorial en $X$ que es metrizable.

Q1 : Eso es correcto. Si la métrica $d$ induce la topología débil, entonces las bolas en esa métrica son débilmente abiertas.

Q2 : Esto es parte de un resultado más general que todo subconjunto débilmente abierto de $X$ no tiene límites en la norma-topología de $X$ . La idea es que si $U$ es débilmente abierto y $x_0\in U$ entonces $U$ hay algo de $\varepsilon>0$ y $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in X^*$ tal que $$x_0\in\bigcap_{k=1}^n\{x\in X:|\varphi_k(x-x_0)|<\varepsilon\}\subset U.$$ y el conjunto $\bigcap_{k=1}^n\{x\in X:|\varphi_k(x-x_0)|<\varepsilon\}$ contiene el hiperplano $x_0+\bigcap_{k=1}^n\ker(\varphi_k)$ que no tiene límites en la norma-topología de $X$ .

Answer 2

$U_n$ es débilmente abierta ya que la topología definida por la métrica es la topología débil, por lo que los subconjuntos abiertos de las dos topologías coinciden.

$U_n$ está abierto desde $U_n$ es abierta para la topología débil: es decir, existe una función lineal acotada $f$ y un intervalo $I$ que contiene el origen $f^{-1}(I)$ no está vacío y está contenido en $U_n$ . Sea $x$ tal que $f(x)\in U_n$ para cada $y\in Ker(f),f(x+y)\in I$ , asumo que la dimensión del espacio es superior o igual a $2$ entonces podemos suponer que $y\neq 0$ y la secuencia $x+ny\in f^{-1}(I)$ no tiene límites.