Resto de la división de $A(x)B(x)$ por $C(x)$

Question

$A(x) , B(x) , C(x) , R_1(x)$ y $R_2(x)$ son polinomios.

Considere $R_1(x) := rem(A(x),C(x))$ y $R_2(x) := rem(B(x),C(x))$ .

¿Es cierto que $rem(A(x)B(x) \ ,\ C(x)) = rem(R_1(x)R_2(x) \ , \ C(x))$ ? Si es verdad pruébalo.

Mi intento : Lo hice en forma general pero no obtuve ningún resultado.

Answer 1

Si $P_1$ y $P_2$ son polinomios tales que $C$ divide $P_1-P_2$ entonces $P_1$ y $P_2$ tienen el mismo resto al dividir por $C$ .

Para ver esto, suponemos que $P_1-P_2=CP$ para algún polinomio $P$ y con la división polinómica se obtiene $P_1=Cq_1+r_1$ , $P_2=Cq_2+r_2$ . Entonces $P_1-P_2=C(q_1-q_2)+r_1-r_2$ . Desde $CP=C(q_1-q_2)+r_1-r_2$ podemos concluir que $r_1-r_2$ es un múltiplo de $C$ lo que implica que $r_1-r_2=0$ (porque $r_1-r_2$ no puede tener un grado tan grande como $C$ ).

Esto se aplica con $P_1=AB$ y $P_2=R_1R_2$ porque si la división polinómica da como resultado $A =CQ_1+R_1$ y $B=CQ_2+R_2$ entonces $AB-R_1R_2=C(Q_1B+R_1Q_2)$ .

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Una pregunta que veo añadida en un comentario es, ¿por qué no podemos decir que el resto de $AB$ al dividir por $C$ es igual a $R_1R_2$ ? La razón es que $R_1R_2$ podría tener un grado tan grande o más grande que $C$ . Ejemplo: $A=B=x^2+x$ , $C=x^2$ , $R_1R_2=x^2$ pero el resto de $AB$ al dividir por $C$ es $0$ .