Demostrar que $f$ es continua si y sólo si $f_+$ y $f_-$ son continuos

Question

Estoy atascado con este problema por un tiempo y no puedo ir más allá:

Dejemos que $D \subset \Bbb R$ y $f:D \to \Bbb R$ . Demostrar que $f$ es una función continua si y sólo si $f_+: D \to \Bbb R$ y $f_-: D \to \Bbb R$ son funciones continuas con:

$f_+(x):=\begin{cases}f(x), & \text{if } f(x)\ge0,\\0, &otherwise,\end{cases}$

$f_-(x):=\begin{cases}-f(x), & \text{if } f(x)\le0,\\0, &otherwise.\end{cases}$

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Mi respuesta hasta ahora: Sé que si dos funciones $f_+$ y $f_-$ son continuos, también lo son

• $f(x)=(f_+\pm f_-)$ y
• $f(x)=\max\{f_+,f_-\}$ .

Así que puedo decir:

$f(x)=f_+(x)-f_-(x)$

• $f(x)\geq 0\begin{cases}f_+(x)=f(x)\\f_-(x)=0\end{cases}$
• $f(x)\leq 0\begin{cases}f_-(x)=-f(x)\\f_+(x)=0\end{cases}$
• $f(x)= 0\begin{cases}f_-(x)=0\\f_+(x)=0\Rightarrow|f(x)|=0=f(x)\end{cases}$

Cualquier ayuda para probar esto es muy apreciada :)

Answer 1

Observe que $f^+=\max\{f,0\}$ y $f^-=\max\{-f,0\}$ . Si $g$ y $h$ son funciones continuas, también lo es $$\max\{g,h\}=\frac{g+h+|g-h|}{2}.$$