Demostración del teorema de equiparación generalizado

Question

El teorema de equiparación generalizado (en el que las variables no tienen por qué ser cuadráticas) dice que si $x_i$ es una variable canónica (variable de posición o de momento), entonces

$$\left\langle x_i \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_j}\right\rangle = \delta_{ij}\ k T$$

donde la media $\langle \cdot \rangle$ se toma sobre un equilibrio densidad de probabilidad $\rho(p,q)$ :

$$\langle f(p,q) \rangle = \int dp dq \ \rho(p,q) \ f(p,q)$$

En el caso más general, esta densidad de probabilidad es la del conjunto canónico. Para que se cumpla el teorema ergodicidad también es necesario. Sin embargo, tengo problemas para encontrar una prueba rigurosa en la que los supuestos se utilicen explícitamente en la derivación.

¿Podría proporcionar dicha prueba, o una referencia a un documento/libro donde pueda encontrarse?

Answer 1

J. A. S. Lima y A. R. Plastino publicaron el artículo Sobre el teorema clásico de equiparación de la energía en 1999. En su artículo derivan un teorema de equipartición generalizado. Su enfoque generalizado es válido para sistemas con funciones de distribución arbitrarias y para sistemas con términos no cuadráticos en el hamiltioniano. El enlace a su artículo es https://doi.org/10.1590/S0103-97332000000100019 . Este artículo debería responder a la mayoría de sus preguntas.

Su artículo puede resumirse como sigue:

Supongamos que existe un sistema con $f$ grados de libertad y el Hamiltoniano es \begin {Ecuación} \mathcal {H} = g(x_1,...,x_L) + h. \end {Ecuación} $(x_1,...,x_L)$ es un subconjunto de las coordenadas del espacio de fase para las posiciones y los momentos. $g$ es homogénea de forma que

\begin {Ecuación} g \left ( \lambda x_{1}, \ldots , \lambda x_{L} \right )= \lambda ^{r} g \left (x_{1}, \ldots , x_{L} \right ). \end {Ecuación} Para sistemas que se distribuyen según una distribución de Boltzmann se puede derivar la expresión

\begin {Ecuación} \langle g \rangle = \frac {L}{r} k_B T. \end {Ecuación} Aquí $k_B$ es la constante de Boltzmann y $T$ es la temperatura. Esta es la forma generalizada del teorema de equipartición que estás buscando. Por ejemplo, para un gas ideal monovalente se tiene $r=2$ y $L=3N$ tal que se recupera el famoso resultado $U = \frac{3}{2}N k_B T$ donde U es la energía interna del gas.