Este problema es de Velleman p143 5.
Recordemos del apartado 1.4 que la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto $ A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = ( A \cup B) \setminus (A \cap B) $ . Demostrar que si $ A \triangle B \subseteq A $ entonces $ B \subseteq A $ .
Mi estrategia: El quid de esta prueba es reducir $ ( A \cup B) \setminus (A \cap B) $ hasta la forma lógica fundamental. $ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A) $ . Esto nos da una disyunción donde si cualquiera de los dos casos es verdadero, entonces $ x \in A $ .
Mi prueba:
Sea x un miembro arbitrario de B. Supongamos que $ A \triangle B \subseteq A $ . Todos los miembros de $ A \triangle B $ están en A o en B, pero no en ambos. El caso en el que $ x \in A \land x \notin B $ no es aplicable ya que $ x \in B $ . Eso deja el caso en el que $ (x \in B \land x \notin A) $ . Desde $ x \in B $ sabemos que $ x \in A \triangle B $ y se nos da que esto significa que $ x \in A $ . Por lo tanto, $ x \in B \to x \in A $ . Como x era arbitrario, afirmamos que $ B \subseteq A $ .
Mi problema: La prueba parece estar bien, creo. El diseñador de pruebas de Velleman parece encajar con mi argumento. Sin embargo, me molesta mucho que la descomposición lógica implique $ (x \in B \land x \notin A ) \to x \in A $ . ¿Cómo puede x ser un miembro de A y al mismo tiempo no ser un miembro de A?
