¿Cuál es la inversa de Laplace de 1/F(s)

Question

Si sabemos que la inversa de Laplace de $\ F(s)$ es $\ f(t)$ ¿es posible encontrar una relación entre $\ 1/F(s)$ y $\ f(t)$ .

Answer 1

$\newcommand{\lap}{\mathscr{L}}$ Las transformadas de Laplace tienen la propiedad $\lim_{s\to \infty} F(s) = 0$ , para $s$ pasando por encima de los reales. (recordemos que la transformada de Laplace, como operador, es un mapeo $\lap: L^2(0,\infty) \to H^2(\mathbb{C}^+)$ ). Si $F(s)$ es la transformada de Laplace de alguna función $F$ entonces $\lim_{s\to \infty} \frac{1}{F(s)} = \infty$ Por lo tanto, $1/F$ no tiene una transformada inversa de Laplace.

Hay una excepción que tiene que ver con la "función" de Dirac.

Supongamos que existe una función en el dominio del tiempo $f$ para que $\lap f = F$ . Supongamos que existe una función en el dominio del tiempo $g$ para que $\lap g = \frac{1}{F}$ . Entonces

$$ (\lap f)(s) \cdot (\lap g)(s) = F(s)\frac{1}{F(s)} = 1, $$

siempre y cuando $s$ no es un cero de $F$ . Del teorema de la convolución, $(\lap f)(s) \cdot (\lap g)(s) = \lap \{f * g\}(s)$ Así que

$$ \lap \{f * g\}(s) = 1 \Rightarrow f * g = \delta. $$

Uno de estos pares es $f(t) = \delta(t)$ y $g(t) = 1$ otro par es $f(t) = \delta(t)$ y $g(t) = \delta(t)$ .