Encuentra los valores de $a$ y $b$ / $f(x) \; \text{es derivable} \; \forall x \in \Bbb R$

Question

Encuentra los valores de $a$ y $b$ tales que: $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{\sin(4x^2 + bx)}{3x} \; \text{si} \; x\gt 0 \\ ax+ 2 \; \text{si} \; x \le0 \end{array} \right. \text{es diferenciable} \; \forall x \in \Bbb R$$

$\text{Entonces, lo que estoy tratando de hacer, es calcular} \; \frac{d}{dx} f(x)|_{x=0} \; \text{por definición, ya que es diferenciable} \; \forall \; x \in \Bbb R -\{0\}$

Pero, para ser diferenciable, tiene que ser continuo en ese punto. Así que:

$\lim\limits_{x\to 0^{-}} f(x) = \lim\limits_{x\to 0^{-}} \frac{\sin(4x^2 + bx)}{3x} = \frac{b}{3} = \lim\limits_{x\to 0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x\to 0^{+}} ax+2 = 2 \; \rightarrow b=6$

$\frac{d}{dx} f(x)|_{x=0} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Hagamos primero $\lim\limits_{h\to 0^{-}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h\to 0^{-}} \frac{ah +2 -2}{h} = \lim\limits_{h\to 0^{-}} \frac{ah}{h} = a$

En segundo lugar $\lim\limits_{h\to 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h\to 0^{+}} \Big(\frac{\sin(4h^2 + 6h)}{3h} -2 \Big) \frac{1}{h} = \lim\limits_{h\to 0^{+}} \Big(\frac{\sin(4h^2 + 6h)-6h}{3h^2} \Big)$

Ahora, no sé cómo proceder, hice la expansión de $\sin(4h^2 + 6h)$ pero el 6h en el numerador dificulta las cosas para mí. ¿Alguna pista? Gracias de antemano.

Answer 1

Pista

Está claro que la función es diferenciable en $ (-\infty,0) $ y $ (0, +\infty)$.

Sí, solo necesitamos diferenciabilidad en $ x=0$.

Pero antes necesitamos continuidad.

$$\lim_{0^-}f(x)=\lim_{0^-}(ax+2)=2$$

$$=\lim_{0^+}f(x)=\lim_{0^+}\frac{\sin(4x^2+bx)}{3x}=\frac b3$$

Entonces $ b=6$.

Answer 2

Pista para tu límite: escríbelo adecuadamente usando álgebra:

$\displaystyle \left(\frac{sin(4h^2+bh)}{3h}-2\right)\times \frac{1}{h}= \frac{sin(4h^2+bh)-6h}{3h^2}$. Dado que el $\lim_ 0 sin(4h^2+bh)-6h=0$ y $\lim_{0} 3h^2=0$, entonces podemos aplicar la regla de L'Hopital.

Luego necesitas usar tanto la continuidad como la diferenciabilidad para obtener un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, ya que tienes tanto $a$ como $b$ aquí.

Espero que esto ayude