Evaluar $\int e^{ax} x^b (1-x)^c \mathrm{dx}$

Question

Editar: aclarar la pregunta

El integrando se parece a una función de densidad gamma, y a una función de densidad beta, así que quizás tenga una solución algo agradable.

$$\int e^{ax} x^b (1-x)^c \mathrm{dx}$$

Wolfram alpha no quiere hacerlo.

Answer 1

Puede ampliar el $(1-x)^c$ para obtener términos de la forma $\int e^{ax}x^n dx$ . Wolfram Alpha entonces da una solución en términos de la función Gamma incompleta. Esta es una forma que puede ser integrada por partes-set $dv=e^{ax}dx, u=x^n$ y reducir los exponentes, dando $\int e^{ax}x^n dx=\frac {x^n e^{ax}}a -\frac na \int x^{n-1}e^{ax}dx$

Answer 2

$\int e^{ax}x^b(1-x)^c~dx$

$=\int_0^xx^b(1-x)^ce^{ax}~dx+C$

$=\int_0^xt^b(1-t)^ce^{at}~dt+C$

$=\int_0^1(xt)^b(1-xt)^ce^{axt}~d(xt)+C$

$=x^{b+1}\int_0^1t^b(1-xt)^ce^{axt}~dt+C$

$=\dfrac{x^{b+1}\Phi_1(b+1,-c,b+2;x,ax)}{b+1}+C$ (según Sobre las versiones confluentes de la función hipergeométrica de Appell y las funciones de Lauricella )