Demostración de la identidad que implica un campo vectorial, un vector tangente unitario y una curva suave.

Question

Dejemos que $\textbf{t}$ sea un campo vectorial continuo que es paralelo al vector tangente unitario en cada punto de una curva suave C.
Pruébalo, $$ \int_{C} \textbf{t} \cdot d\textbf{r}=\int_{C} ||\textbf{t}|| d\textbf{s}\space. $$

$C$ se parametriza con $<u,\frac{u^2}{2},\frac{u^3}{6}>$ y me han dado los puntos $(0,0,0)$ y $(6,18,36)$

Answer 1

Asumiendo que estamos trabajando con tres dimensiones, cualquier curva puede ser parametrizada en una variable (llamada parámetro), con algunos límites en el parámetro. (Normalmente los límites se especifican en un intervalo, por ejemplo $a \leq s \leq b$ .) Supongamos que $\mathbf{r}(s)$ es una parametrización de $C$ y definir $\mathbf{r}'(s)$ para ser el vector derivado (tangente) en el punto $\mathbf{r}(s)$ (el punto de la curva correspondiente a cuando el parámetro es igual a $s$ ). Lo que denota el lado izquierdo es entonces el vector integral de línea, que es por definición $$\int_a^b \mathbf{t}(\mathbf{r}(s)) \cdot \mathbf{r}'(s) ds$$ Sin embargo, también se da que para cualquier punto $(x, y, z) = \mathbf{r}(s)$ que se encuentra en la curva $C$ , $\mathbf{t}(x, y, z)$ devuelve un vector paralelo al vector tangente en $\mathbf{r}(s)$ , lo que significa que $ \mathbf{t}(\mathbf{r}(s))$ es en realidad siempre paralela a $\mathbf{r}'(s)$ . Sabemos que el producto punto de dos vectores paralelos es simplemente el producto de sus magnitudes, por lo que se deduce que $$\mathbf{t}(\mathbf{r}(s)) \cdot \mathbf{r}'(s) = \|\mathbf{t}(\mathbf{r}(s))\| \cdot \| \mathbf{r}'(s) \|$$ (El punto del lado derecho es sólo una multiplicación normal). Así, la integral que escribimos es equivalente a $$\int_a^b \|\mathbf{t}(\mathbf{r}(\mathbf{s}))\| \cdot \|\mathbf{r}'(s)\| ds$$ que es exactamente la definición del escalar integral de línea $$\int_C \|\mathbf{t}\| ds$$ a la derecha de la identidad que desea verificar.

Un punto clave: cuando se evalúan integrales de línea (escalares o vectoriales), lo más probable es que haya que encontrar una parametrización de la curva que se está evaluando.