Series de Fourier de la función seno

Question

Estoy calculando la serie de Fourier de

$$f(x)=\sin\frac{\pi x}{L}.$$

La serie de Fourier de una función suave a trozos $f(x)$ definido en el intervalo $-L\leq x\leq L$ viene dada por

$$f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{L},$$

donde

$$\begin{align} a_0&=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\\ a_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\\ b_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\\ \end{align}$$

Desde $f$ es una función impar, tenemos que tanto $a_0$ y $a_n$ son iguales a cero. Sin embargo, $b_n$ es la integral de una función par. Por tanto,

$$ b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\tag{1} $$

Pero resulta que $(1)$ es igual a cero, porque

$$ b_n=\frac{2L\sin(n\pi)}{\pi(1-n^2)}=0,\qquad n\in\mathbb{N}. $$

Por otro lado, mi libro afirma que $b_n=1$ . ¿Por qué?

Answer 1

Un polinomio trigonométrico es igual a su propia expansión de Fourier. Así que f(x)=sin(x) tiene una expansión de Fourier de sin(x) solamente (de $[-\pi,\pi]$ Quiero decir). La serie es finita al igual que la expansión de taylor de un polinomio es ella misma (y por tanto finita). Además, $b_n=0$ SI $n\neq1$ porque su expresión es indefinida para $n=1$ . Para todos los demás valores de $n$ , está usted en lo cierto y $b_n=0$ . Y eso también se puede ver en la ecuación (1). $n=1$ debe manejarse por separado. Y cuando se calcula la integral con $n=1$ , obtendrá $b_1=1$ .

Answer 2

$$\sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{(n-1)\pi x}{L}\right) - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{(n+1)\pi x}{L}\right)$$ Pero al integrar esto, se quiere tratar el caso $n=1$ por separado (la forma general tiene $n-1$ en el denominador, lo que no tendría sentido).