$X\times X\simeq X$ implica $X$ ¿se puede contraer?

Question

He visto afirmar en varios trabajos que, dado un espacio $X$ Si $map(S^0,X)$ es equivalente en homotopía a $map(*,X)$ entonces $X$ es contraíble. No sé por qué es así.

Tengo claro que $map(S^0,X)\simeq X\times X$ y $map(*,X)\simeq X$ y la equivalencia de homotopía $X\times X\simeq X$ inducido por $map(S^0,X)\simeq map(*,X)$ es simplemente una proyección, por ejemplo, sobre el primer factor. Así que las preguntas se reducen a probar que $X\times X\simeq X$ (dada por la proyección) implica $X\simeq *$ . No estoy seguro de cómo probar este hecho.

Mi idea es sustituir $X$ por $X\times *$ y considerar la equivalencia de homotopía $X\times X\simeq X\times *$ dado por $(x,y)\mapsto (x,*)$ . A partir de esto me gustaría demostrar que sus componentes son equivalencias de homotopía.

He visto esta pregunta preguntando precisamente si los componentes de una equivalencia de homotopía son equivalentes de homotopía pero no tiene una respuesta aceptada (y la respuesta existente no me satisface porque como no sabemos exactamente qué es $G$ No veo cómo se siguen las igualdades de las composiciones).

Answer 1

Lo intentaré, aunque no soy topólogo.

La proyección $pr_1: X \times X \rightarrow X$ es una equivalencia de homotopía, lo que significa que existe un mapa $(f, g): X\rightarrow X\times X$ , enviando $x$ a $(f(x), g(x))$ de manera que las composiciones con $pr_1$ son equivalentes en homotopía a los mapas de identidad.

Así que tenemos $\Phi = (f, g)\circ pr_1$ que envía $(x, y)$ a $(f(x), g(x))$ y sabemos que es equivalente en homotopía a $\operatorname{Id}_{X\times X}$ .

Esto significa que existe un mapa continuo $h:X\times X\times [0, 1]\rightarrow X\times X$ , de tal manera que $h(x, y, 0) = (x, y)$ y $h(x, y, 1) = (f(x), g(x))$ .

Ahora elige cualquier punto $x\in X$ y definir un mapa $u:X\times[0, 1]\rightarrow X$ tal que $u(y, t) = pr_2\circ h(x, y, t)$ . Tenemos entonces $u(y, 0) = y$ y $u(y, 1) = g(x)$ .

Por lo tanto, el mapa de identidad en $X$ es equivalente en homotopía al mapa constante que envía cualquier punto a $g(x)$ y hemos terminado.

Answer 2

Esto sólo es cierto suponiendo que $X$ es no vacía. Supongamos que $X$ es no vacía y la primera proyección $p:X\times X\to X$ es una equivalencia homotópica, con homotopía inversa $f:X\to X\times X$ . Fijar un punto $a\in X$ y que $i:X\to X\times X$ sea el mapa $i(x)=(x,a)$ . Desde $pi=1_X$ , $f=fpi\simeq 1_{X\times X}i=i$ Así que, de hecho $i$ es una homotopía inversa a $p$ .

Dejemos que $H:X\times X\times I\to X\times X$ sea una homotopía de la identidad a $ip$ Así que $H(x,y,0)=(x,y)$ y $H(x,y,1)=(x,a)$ . Ahora simplemente observe que si definimos $h:X\times I\to X$ por $h(x,t)=q(H(x,x,t))$ donde $q:X\times X\to X$ es la segunda proyección, entonces $q$ es una homotopía del mapa de identidad en $X$ al mapa constante con valor $a$ . Así, $X$ es contraíble.