Convergencia de la serie impar

Question

Demuestra que tenemos la siguiente desigualdad:

$1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{397} > \frac{9}{4}$

¿Alguien puede ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Un enfoque tonto:

$$ \sum_{n=0}^{198} \frac{1}{2n+1} > \int_0^{198} \frac{dx}{2x+1} = \frac{1}{2} \log 397 > \frac{1}{2} \log 361 = \log 19, $$

$$ e^{9/4} < 3^{9/4} < 3^{10/4} = 9 \sqrt{3} < 9 \cdot 2 = 18. $$

Un enfoque más sensato:

Escriba

$$ \sum_{n=1}^{199} \frac{1}{2n-1} > \sum_{n=1}^{\large 2^7} \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\large 2^7} \frac{1}{n} $$

entonces utiliza la condensación de Cauchy.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k+1}=\frac{4k}{4k^2-1}>\frac{4k}{4k^2}=\frac{1}{k}$ .

Denote $1+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2k-1}$ por $S_k$ entonces $S_{199}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{397}$ Así que

\begin {align} S_{199}&>1+ \frac {1}{2}+ \frac {1}{4}+ \frac {1}{6}+ \ldots\frac {1}{198} \\ &>1+ \frac {1}{2}+ \frac {1}{4}+ \frac {1}{8}+ \frac {1}{8}+ \ldots + \underbrace { \frac {1}{128}+ \ldots + \frac {1}{128}}_{32\; \text {términos}}+ \frac {1}{130}+ \ldots + \frac {1}{198} \\ &>1+ \frac {1}{2}+ \frac {1}{4}+ \frac {2}{8}+ \ldots + \frac {32}{128} \\ &=1+ \frac {1}{2}+ \underbrace { \frac {1}{4}+ \frac {1}{4}+ \ldots\frac {1}{4}}_{6\; \text {terms}} \\ &=1+ \frac {1}{2}+ \frac {6}{4} \\ &=3 \end {align} Esto significa $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{397}>3>\frac{9}{4}$ .