La respuesta es sí. Permítanme primero establecer algunas notaciones. Sea $X$ sea un conjunto simplicial. Si $Y$ es un espacio, y que $S_\bullet(Y)$ sea el conjunto simplicial singular. Dado un grupo abeliano simplicial $M$ , escriba $C_\bullet(M)$ para ser su complejo de cadena de mapa alternado.
El mapa natural a nivel de complejos de cadena que has escrito proviene del mapa simplicial: $$ X \hookrightarrow S_\bullet( \vert X \vert). $$ Primero aplique $\mathbb Z[-]$ , lo que da un morfismo de grupo abeliano simplicial, y luego tomar el mapa inducido en los complejos de cadenas de mapas de caras alternas: $$ C_\bullet \mathbb Z[X] \to C_\bullet \mathbb Z[S_\bullet( \vert X \vert)]. $$ Tomando la homología de esto se obtiene $$ H_\bullet(C_\bullet(\mathbb Z[X])) \to H_\bullet^{\text{sing}}(\vert X \vert). $$
Una forma de verlo, debida a Milnor ("Geometric Realization of Semi-Simplicial Complexes", 1956), es la siguiente.
Tenga en cuenta que $\vert X \vert$ es un complejo CW y existe una correspondencia entre la filtración CW y la filtración esquelética de $X$ Es decir, $\vert \text{sk}_n(X) \vert \cong \vert X \vert_n$ .
La filtración de CW,
$$\emptyset \hookrightarrow \vert X \vert_0 \hookrightarrow \vert X \vert_1 \hookrightarrow \vert X \vert_2 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow \vert X \vert$$
es una torre de cofibraciones, que da lugar a una secuencia espectral con
$$E_{p,q}^1 = H_{p+q}^{\text{sing}}(\vert X \vert_p ,\vert X \vert_{p - 1}) \Longrightarrow H_{p+q}^{\text{sing}}(\vert X \vert).$$
Por otro lado, el complejo de la cadena $C_\bullet \mathbb Z[X]$ tiene una filtración natural de complejos de cadena:
$$C_\bullet \mathbb Z [\text{sk}_0(X)] \hookrightarrow C_\bullet \mathbb Z [\text{sk}_1(X)] \hookrightarrow C_\bullet \mathbb Z [\text{sk}_2(X)] \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow C_\bullet \mathbb Z [X]$$
que da lugar a una secuencia espectral con
$$\overline E_{p,q}^1 = H_{p+q}(\text{nd}_p(X)) \Longrightarrow H_{p+q}(C_\bullet \mathbb Z [X]),$$
donde $\text{nd}_p(X)$ son las no-degeneradas $p$ -simples de $X$ .
La observación clave ahora es que el mapa simplicial $X \hookrightarrow S_\bullet(\vert X \vert)$ induce un isomorfismo $\overline E_{p, q}^1 \to E_{p, q}^1$ con la naturalidad garantizando que se produce un isomorfismo de las secuencias espectrales, por lo que deben converger a lo mismo.
