Ecuación diferencial simultánea $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{x+y+t}=\frac{dt}{t}$

Question

$$ \frac{dx}{x}=\frac{dy}{x+y+t}=\frac{dt}{t} $$ Se me dio este problema pero no sé cómo empezar, no estoy seguro pero lo intenté como $$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{x+y+t}\tag{1}$$ $$\frac{dt}{t}=\frac{dy}{x+y+t}\tag{2}$$

Ahora bien, si resteo $(1)$ de $(2)$ Sólo tengo $$\frac{dt}{t}=\frac{dx}{x}$$ que es inútil, creo.

Answer 1

$$\int\frac{dt}{t}=\int\frac{dx}{x}\Rightarrow \ln x=\ln t+\ln c\\ x=tc$$ Ahora, usando la ecuación (2) tenemos, $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} = \frac{ct + y + t}{t} \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=1+c + \frac{y}{t}\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}-\frac{y}{t}=1+c$$

Que Lineal en $y$ Así que.., $$IF=e^{\int \frac {-1}{t}\mathrm dt}=\frac {1}{t}$$

Por lo tanto la solución general de esta ecuación es, $$\frac {y}{t}=\int\frac{1+c}{t}\mathrm dt+c'$$

.