diagonalización de matrices en diferentes campos

Question

Digamos que tengo dos campos $F$ y $F'$ tal que $F\subseteq F'$ . Digamos que para una matriz $A \in M_{n}(F)$ es diagonalizable sobre $F$ Entonces, ¿significa automáticamente que $A$ es diagonalizable sobre $F'$ ?

La cuestión que trataba era una matriz, $A$ que encontré que era diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ y entonces estoy pensando que eso significa $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ ¿verdad?

Answer 1

Esto es correcto. Si se diagonaliza sobre $F$ , entonces podrá diagonalizar sobre $F'\supseteq F$ ya que se pueden utilizar las mismas operaciones sobre $F'$ que ha utilizado durante $F$ . Lo contrario no suele ser cierto.

Answer 2

Sí, si $$ P^{-1}AP =D$$ donde P es una matriz en $F$ y $F\subset F'$ entonces $P$ es una matriz en $F'$ también.

Así, $A$ es diagonalizable en $F'$