¿Cuál es el campo finito más pequeño en el que el siguiente polinomio es factorizable en factores irreducibles?

Question

¿Cuál es el campo finito más pequeño en el que el siguiente polinomio es factorizable en factores irreducibles?

$$(x^2+x+1)(x^5+x^4+1)(x^7+x^6+x^3+1) $$

Answer 1

No hay ningún campo finito en el que los tres polinomios dados sean irreducibles. El último polinomio, es decir $x^7+x^6+x^3+1$ siempre ha $-1$ como raíz, por lo que es reducible sobre todos los campos finitos.
Por otro lado, $\mathbb{F}_3$ es el campo finito más pequeño en el que los tres polinomios son reducibles: $x^2+x+1=(x+2)^2$ , $x^5+x^4+1=(x^3 + 2x + 1)(x + 2)^2$ y $x^7+x^6+x^3+1=(x^6 + x^2 + 2x + 1)(x + 1)$ .