Notación para existe y deja que

Question

A veces me encuentro con pruebas como la siguiente:

$\exists n\in\mathbb N$ tal que . Entonces $n$

Pero el hecho en ese $n$ no se define en la segunda frase. Una prueba correcta contendría en su lugar:

$\exists n\in\mathbb N$ tal que . Que tal $n$ . Entonces $n$

¿Existe una notación que signifique "existe y deja"?

Answer 1

Estás preguntando por la notación de "existe y deja". Ten en cuenta que la primera parte de esto, "existe", es una declaración que dice cómo es algo, mientras que "deja" es un imperativo que dice al lector qué hacer. Tienen papeles diferentes en la prueba y tienen lenguajes formales algo diferentes.

La notación formal de las declaraciones contiene cosas como cuantificadores ( $\forall,\ \exists$ ) y las implicaciones ( $\implies$ ), mientras que la notación formal para una prueba es más bien un árbol de deducción que contiene declaraciones: $$ \dfrac { \begin{matrix}\\A \lor B\end{matrix} \quad \begin{matrix}\\ [A]\end{matrix} \quad \dfrac{[B] \quad B \rightarrow A}{A} } { A } $$ (El ejemplo demuestra $A$ de $A \lor B$ y $B \rightarrow A.$ )

En una prueba, "existe" será cierto por alguna definición o por algún otro teorema o lema, y el texto diría "Por definición/teorema $X,$ existe $x$ tal que $P(x).$ Tome tal $x.$ Entonces..." Aquí hay un árbol de deducción para eso: $$ \dfrac { \begin{matrix}\\ \triangledown \\ \hline \exists x\ P(x)\end{matrix} \quad \begin{matrix} [P(x)] \\ \vdots \\ Q \end{matrix} } { Q } $$ donde $\triangledown$ denota "definición/teorema $X$ " y $\vdots$ que hay algún árbol de deducción que deriva $Q$ de $P(x).$ La parte izquierda sobre la línea horizontal corresponde a "Por definición/teorema $X,$ existe $x$ tal que $P(x),$ y la parte derecha corresponde a "Toma tal $x.$ Entonces $P(x)$ así que... Así $Q(x).$ "

Answer 2

Estoy de acuerdo con su preocupación por $n$ no se define en la segunda frase de la primera cita. Porque el alcance de $\exists$ sería al final de la declaración/sentencia lógica, y no extender/ligar $n$ más allá de eso.

Y aunque se le entendería si escribiera "Existe" en palabras como sugiere TheSilverDoe en un comentario Al hacerlo, se produce una rara distinción entre los símbolos y sus lecturas habituales, que preferiría evitar.

Prefiero utilizar la palabra "elegir" (y reservar "dejar" para la cuantificación universal), como en "Elegir $n\in \mathbb N$ tal que $n>N+3$ . A continuación, observe que $n\ge N+2$ ...para que...". "Elija una forma natural $n$ tal que..." también está bien. O después de haber justificado que existe algo con una propiedad, "Así que podemos/podemos elegir $n$ para que..."

Puede ver el uso de "elegir" recomendado/ejemplificado en la guía de escritura matemática de Doug West La gramática según West en sus puntos sobre expresiones como unidades y "Deja que x,y ser" .

Answer 3

En $(\exists x \in X)R(x)$ en $R(x)$ $x$ está realmente definida, porque es la misma que $(\exists x) (x \in X \land R(x))$ .

Adición. Si consideramos $(\exists x \in X)R(x) \land S(x)$ , entonces es lo mismo que $(\exists y \in X)R(y) \land S(x)$ .