Prueba: $\cos^p (\theta) \le \cos(p\theta)$

Question

Me encontré con este problema cuando yo estaba en una tienda de libros en el interior de un libro hecho para preparar Berkeley graduados para pasar un examen obligatorio. Yo quería comprar el libro, pero, por desgracia, yo no tenía el dinero (cuarenta dólares es un montón de dinero cuando usted no tiene un trabajo). Así que me tomé mi teléfono y empecé a tomar tantas fotos como pude. Por desgracia, no he de tomar fotos de las soluciones!

Suficiente trasfondo. Tiempo para las matemáticas. El problema es el siguiente:

Demostrar que $\cos^p( \theta) \le \cos(p \theta)$ si $0\le\theta\le\frac\pi2$$0\le p\le 1$.

He intentado utilizar la expansión de la serie para el coseno, pero que parecía ser un callejón sin salida. Luego he intentado utilizar el teorema de Euler, pero me atoré. Entonces me distrae y comenzó a pensar acerca de otros coseno de identidades. Por ejemplo, $$\cos(\frac\theta2)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}.$$ Then what is $\cos(\frac\theta3)$ igual? Traté de averiguar entonces me di cuenta de que tenía que encontrar la raíz de un polinomio cúbico. Entonces me di cuenta de que yo soy mejor en permanecer centrado de la búsqueda de las raíces de polinomios cúbicos.

De todos modos, una prueba sería agradable aquí. Realmente agradezco todas las sugerencias o respuestas. Me disculpo por mis digresiones!

Answer 1

Volvamos a fijar el valor de $\theta$ y varían $p$.

Para $p=0$, $\cos^0(\theta)=\cos(0\theta)=1$.

Para $p=1$, $\cos^1(\theta)=\cos(1\theta)=\cos(\theta)$.

A continuación, $$(\cos^p(\theta))''=(\log(\cos(\theta)))^2\cos^p(\theta)\ge0,$$ y $$(\cos(p\theta))''=-\theta^2\cos(p\theta)\le0.$$ La LHS de la función es cóncava hacia abajo (negativa exponencial) y el lado derecho de la función es cóncava hacia arriba (cosinusoid). Se encuentran en los extremos sin cruzar.

Con la línea recta, esto también establece $$\color{blue}{\cos^p(\theta)}\le\color{magenta}{1-p(1-\cos(\theta))}\le\color{green}{\cos(p\theta)}.$$

Answer 2

Set $f(\theta) = \cos p\theta - \cos^p \theta$ fijos $0 \leq p\leq 1$. A continuación, para $\theta\in [0, \pi/2]$, $$f'(\theta) = p\left(\cos^{p-1}\theta \sin \theta - \sin p\theta\right) \geq p\left(\sin \theta - \sin p\theta\right) \geq 0,$$ desde $\cos^{p-1}\theta \geq 1$ ( $p - 1\leq 0$ ) y $\sin \theta$ es el aumento en $[0, \pi/2]$. Desde $f(0) = 0$, se deduce que el $f$ es creciente y por lo tanto no negativo en $[0, \pi/2]$, según se requiera.

Answer 3

Debido a que el coseno es cóncava en el intervalo de $[0,\pi/2]$, tenemos $$ \cos(p\theta)=\cos(p\theta+(1-p)0)\geq p\cos(\theta)+(1-p)\cos(0)=p\cos(\theta)+(1-p). $$ Así que nuestra deseada de la desigualdad de la siguiente manera, si podemos probar que $$ \cos^p(\theta)\leq p\cos(\theta)+(1-p).\la etiqueta{*} $$ Claramente, (*) vale si $\theta=\frac{\pi}{2}$ (LHS es$0$, mientras que el lado derecho es no negativo), por lo que asumen $\theta<\frac{\pi}{2}$. Este supuesto significa $\cos(\theta)>0$, de modo que $\cos(\theta)-1>-1$, lo que nos permite aplicar la desigualdad de Bernoulli: $$ \cos^p(\theta)=[1+(\cos(\theta)-1)]^p\leq 1+p(\cos(\theta)-1)=p\cos(\theta)+(1-p). $$ Esto completa la prueba.

Answer 4

Set$f(\theta)=\cos^p(\theta)-\cos(p\theta).$, $f(0)=0$. Diferenciar $f$ w.r.t. $\theta$ obtendrá \begin{align} f'(\theta)&=-p\cos^{p-1}(\theta)\sin(\theta)+p\sin(p\theta)\\ &=-p\cos^{p-1}(\theta)\sin(\theta)+p\sin(\theta)-p\sin(\theta)+p\sin(p\theta)\\ &=p\sin(\theta)[1-\cos^{p-1}(\theta)]+p[\sin(p\theta)-\sin(\theta)]. \end{align}

Tenga en cuenta que para $\theta\in[0,\pi/2)$ tenemos $0<\cos(\theta)\le 1$. Desde $0\le p\le 1$ $\cos^{p-1}(\theta)\ge 1$ que implica la $p\sin(\theta)[1-\cos^{p-1}(\theta)]\le0$.

En las manos de otros, también tenemos $\sin$ es el aumento en $[0,\pi/2)$. Desde $p\theta\le \theta$ $\sin(p\theta)\le \sin(\theta)$ que implica la $p[\sin(p\theta)-\sin(\theta)\le0$.

De ello se desprende que $f'(\theta)\le 0$, lo que significa que $f$ está decreciendo. Desde $f(0)=0$ $f(\theta)\le 0$ todos los $\theta\in[0,\pi/2]$. Por supuesto, esto nos lleva a lo que quería.

Answer 5

$$\color{blue}{\cos^p(\theta)}\le\color{green}{\cos(p\theta)}.$$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Para fija $p$ ($0.5$ en la figura), se toma el logaritmo $$p\log(\cos(\theta))\le\log(\cos(p\theta)),$$ y derivar en $\theta$ $$-p\tan(\theta)\le-p\tan(p\theta).$$ La última desigualdad es obviamente cierto, ya que el $\tan$ función es creciente. Esto muestra que el $\color{blue}{LHS}$ de la desigualdad original disminuye más rápidamente que la $\color{green}{RHS}$, y son iguales en $\theta=0$.