¿Puede alguien ayudar a evaluar $$\int dx\frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\left(\theta\right)}}}{x\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\left(\theta\right)}}$$
donde $$k = \frac{x}{R}$$
No estoy muy seguro de que esto sea posible, aunque puede que alguien conozca algún truco...
Explicación Estoy tratando de utilizar el método de reducción de orden para encontrar la segunda solución de
$$ \frac{d^{2}}{d\epsilon^{2}}g^{\star}+\frac{\left(R^{2}+3\epsilon^{2}\right)}{\epsilon\left(R^{2}-\epsilon^{2}\right)}\frac{d}{d\epsilon}g^{\star}+\frac{\left(5R^{2}+3\epsilon^{2}\right)}{\left(R^{2}-\epsilon^{2}\right)^{2}}g^{\star}=0 $$
donde $g^{\star}$ es una función de $\epsilon$ , dado $$g_1 = \frac{1}{\pi R^{2}}\left(2\left(R^{2}-\epsilon^{2}\right)E\left(\frac{\epsilon}{R}\right)\right)$$ es una solución; $E(x)$ es la integral elíptica completa del segundo tipo:
$$ E\left(k\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\left(\theta\right)} $$
El método de orden de reducción implica este factor integrador $\mu(\epsilon)$
$$ \log(\mu(\epsilon)) = \int{dx\frac{3 E\left(\frac{x}{R}\right)-2 K\left(\frac{x}{R}\right)}{x E\left(\frac{x}{R}\right)}} $$
donde
$$ K\left(k\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\left(\theta\right)}} $$
es la integral elíptica completa del primer tipo.
