Dado que $\Sigma\vdash\phi \Leftrightarrow \Sigma\vDash\phi$ Quiero probar: $\Sigma \text{ satisfiable} \Leftrightarrow \text{ every finite subset of } \Sigma \text{ is satisfiable}$ .
Voy a publicar mi idea a continuación, pero no puedo terminar el $\Leftarrow$ dirección. Necesitaría que el conjunto que llamaré $\Delta$ es finito. ¿Puede alguien indicarme lo que me falta, por favor? Muchas gracias.
Prueba: El $\Rightarrow$ se mantiene porque si $\Sigma$ es satisfacible tiene un modelo, que a su vez es un modelo de cada subconjunto (especialmente de cada subconjunto finito) de $\Sigma$ .
$\Leftarrow$ : Prueba por contradicción. Si $\Sigma$ no es satisfacible, entonces no es consistente. Es decir $\Sigma \vdash \bot$ . Esto significa que hay un subconjunto $\Delta$ de $\Sigma$ de la cual $\bot$ es derivable. La corrección da entonces $\Delta \vDash\bot$ es decir, para cada modelo $\mathscr{A}$ uno tiene que $\mathscr{A}\vDash\Delta$ da $\mathscr{A}\vDash\bot$ . Pero la última afirmación es válida para ningún modelo, por lo que ya tenemos $\mathscr{A}\not\vDash\Delta$ por cada $\mathscr{A}$ , lo que significa que $\Delta$ no tiene ningún modelo. Si supiera que $\Delta$ fuera finito, entonces tendría una contradicción.
