Si un polinomio racional mónico de grado $p-1$ tiene $p$ -enésima raíz de la unidad como raíz, ¿es el polinomio ciclotómico?

Question

Si un polinomio racional mónico de grado $p-1$ tiene un $p$ -raíz de la unidad como raíz, donde $p$ es primo, ¿eso lo convierte en el polinomio ciclotómico $x^{p-1}+...+1$ ?

Creo que esto es lo mismo que preguntar si un polinomio racional podría tener un factor común real con el polinomio ciclotómico, como por ejemplo $x^2+2Re(\zeta)x+1$ donde $\zeta$ es un $p$ -raíz de la unidad. Así que podemos preguntar qué vectores racionales contiene $span_\mathbb{R}\{(1,2Re(\zeta),1,0,...),(0,1,2Re(\zeta),1,0,...),...,(0,...,0,1,2Re(\zeta),1)\}$ pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Si además requieres que el polinomio sea mónico, entonces sí. Esto se debe a que el polinomio ciclotómico de grado $p-1$ es el polinomio mínimo sobre $\mathbb Q$ para todo (no trivial) $p$ -Raíces de la unidad.

Answer 2

Su afirmación es cierta.

Supongamos que existe un polinomio racional mónico $f(x)$ de grado inferior a $p$ tal que $f(x)$ tiene un $p$ -raíz de la unidad como raíz. Entonces, consideremos el máximo común divisor de los polinomios $f(x)$ y $g(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1$ . Tenga en cuenta que $d(x)=\gcd(f(x), g(x))$ es un polinomio racional de grado al menos $1$ (ya que $f$ y $g$ tiene una raíz común). También, $d(x)$ divide $g(x)$ . Sin embargo, el polinomio $g(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1$ es irreducible (sobre $\mathbb{Q}$ ). Por lo tanto, $d(x)=cg(x)$ para alguna constante $c\in\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, $f(x)$ es divisible por $g(x)$ porque $d(x)|f(x)$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $\deg g=p-1$ y $\deg f<p$ Así que $f(x)=ag(x)$ . Desde $f(x)$ es mónico obtenemos que $f(x)=g(x)$ , según se desee.

Para demostrar que $g(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ se puede utilizar el criterio de Eisenstein. Consideremos $$ h(x)=g(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1}=\frac{1}{x}\sum\limits_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^k=\sum\limits_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{k-1}. $$ Ahora, es fácil ver que todos los coeficientes de $h(x)$ excepto el coeficiente principal, son divisibles por $p$ pero el último coeficiente no es divisible por $p^2$ . Así, $h(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ Así que $g(x)$ también es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .