Cálculo del residuo de $f(z) = \frac{(z^2 - 1)^4}{z^5}$ en $z=0$

Question

Calcular el residuo de $$f(z) = \frac{(z^2 - 1)^4}{z^5}$$ en $z = 0$

Dejo que $g(z) = (z^2 - 1)^4.$

Estoy usando un teorema que dice:

Supongamos que $g$ es holomorfo alrededor de $z = \alpha$ y que $N$ es un entero positivo, entonces $$RES_{z=\alpha}\frac{g(z)}{(z-\alpha)^N} = \frac{g^{(N-1)}(\alpha)}{(N-1)!}$$

y obtengo la respuesta correcta (ya que $g(z) / (z-0)^5 = f(z))$ Sin embargo, es realmente molesto tener que diferenciar tantas veces. ¿Existe un método más inteligente?

Answer 1

El residuo está relacionado con el coeficiente de $1/z$

A saber: $$f(z) = \cdots a_{-2}/z^2 +a_{-1}/z+a_0 +a_{1}z \cdots \implies Res(f,0) = a_{-1}$$

pero tenemos el factor $1/z^5$ por lo que basta con determinar el factor $z^4$ en el término $(z^2-1)^4$ que viene dado por $$6 z^4 +rest(z) $$

Por lo tanto, el coeficiente de $1/z$ en $f$ es

$$ 6/z$$ Por lo tanto,

$$Res(f,0) = 6$$

Answer 2

$$ \frac{(z^2 - 1)^4}{z^5} = \frac{z^8 - 4 z^6 + 6 z^4 - 4 z^2 + 1}{z^5} = \cdots + \frac{6}{z} + \cdots $$