(Este CW toma las ideas presentadas por Jyrki Lahtonen, JSpecter, Derek Holt y Steve Dalton, y ajusta la pregunta a algo más razonable).
Pregunta original 2:
No, n \= 77 es otro número entero positivo.
Parte de la solución pasaba por demostrar que ningún grupo tenía n Sylow p -subgrupos para p impar. Esto es necesario porque:
Proposición: Si un grupo finito tiene n Sylow p -subgrupos para impar p entonces un grupo finito insoluble tiene n Sylow p -subgrupos para impar p .
La prueba es tonta: basta con darse cuenta de que para cada primo impar p existe un grupo simple finito cuyo orden es coprimo a p . Para p \= 3, se toma un grupo Suzuki, y para p ≥ 5, se toma un PSL(2, q ).
Pregunta 1 original y pregunta 2 mejor:
Supongamos que G tiene n Sylow p -subgrupos, uno de ellos P . Sea N \= N <em>G </em> ( P ) sea el normalizador de P en G y que K sea el núcleo normal de N en G . Desde P es normal en N , N es claramente p -solucionable. Uno tiene que G / K es p -resoluble si y sólo si G es p -resoluble, por lo que podemos suponer la acción de G en el Sylow p -subgrupos es fiel en la medida en que p -se trata de la resolubilidad.
Esto sugiere que cambiemos "solvable" por " p -soluble" por varias razones:
- El caso solucionable tiene un extraño "no impar p y p \= 3 nunca puede ser interesante.
- El caso resoluble para cualquier n que funciona tiene como corolario el teorema de Feit-Thompson, por lo que la demostración debe incluir, al menos por referencia, ideas bastante difíciles.
- En p -caso resuelto en varios casos en los que no se utilizó maquinaria pesada.
- 2-soluble = soluble por Feit-Thompson, así que para p \= 2 no ha cambiado mucho
Así pues, uno se plantea la pregunta más interesante, pero probablemente mucho más difícil:
¿Cuáles son los pares ( n , p ) tal que todo grupo finito con n Sylow p -subgrupos es p -¿Solucionable? (de nuevo donde ignoramos ( n , p ) tal que no existen grupos finitos con n Sylow p -subgrupos)
En n es pequeño ( n ≤ 32 para mí, n ≤ 63 para algunos) uno tiene una lista completa de posibles acciones Sylow, y uno puede simplemente comprobar la lista. El resultado es ahora una lista mucho mayor: ( n , p ) en
{ (3,2), (4,3), (7,2), (7,3), (11,2), (11,5), (13,2), (13,3), (16,3), (16,5), (19,2), (19,3), (23,2), (23,11), (25,3), (27,13), (29,2), (29,7), (31,2), (31,3), (31,5) }
o n ≥ 33. La pregunta original sólo tenía n en { 3 } o n ≥ 33.
En n es medio ( n ≤ 2499 para mí) se tiene una lista completa de grupos primitivos, y a menudo se puede aprovechar para entender las acciones Sylow. Derek usó esto para encontrar un ejemplo más grande, n \= 77 que funciona con el requisito más estricto de solvencia para todos los p .
En n \= 3 y p \= 2, entonces G / K ≅ S 3 es p -solucionable, y puesto que K ≤ N es p -solucionable, G debe ser p -soluble, sin resultados difíciles. Por supuesto, si n \= 3, entonces p divide n - 1 = 2 por el teorema de Sylow, pero esto parece una complicación innecesaria ahora que Derek ha presentado su respuesta.
En n \= 77 y p \= 2, entonces consultamos los cuatro grupos primitivos de grado 77 (todos los cuales tienen al menos 3465 subgrupos Sylow 2) para ver que N está contenido en un subgrupo maximal M de forma que los índices $[G:M],[M:N]$ son 7,11 u 11,7. Dado que N también es un Sylow p -normalizador en M obtenemos que M / K es diédrico o afín de grado 7 u 11 (cuatro posibilidades, D7, D11, AGL(1,7), AGL(1,11)). En todos los casos M es p -resoluble, por lo que la G -core L de M es p -solucionable. Las posibilidades de G / L están restringidos de forma similar: un subgrupo de un grupo afín en grado 7 u 11. En particular, tanto G / L y L son p -soluble, así que G es p -resoluble, y n \= 77 es otro ejemplo.
Por supuesto, p debe dividir n -1, y la lista de grupos primitivos de grado 77 descarta p \= 19 (sin intermedio M puede existir por el teorema de Sylow ya que ni 7 ni 11 son equivalentes a 1 mod 19, pero ninguno de los grupos primitivos tiene realmente 77 Sylow p -subgrupos). De este modo, aunque no hayamos especificado p \= 2, esto seguía siendo un ejemplo.
En n \= 143 y p \= 71, se obtiene que N no puede contenerse en M por lo que la acción es primitiva, pero ningún grupo primitivo de grado n tiene n Sylow p -subgrupos, por lo que este caso no se da.
En n \= 143 y p \= 2, el argumento es más complicado (la acción debe ser imprimible, la única acción insoluble sobre 11 o 13 puntos es por L 2 (11), pero el número de Sylow p -subgrupos de una sección normal de un grupo divide el número de Sylow p -del grupo entero, y n 2 (L 2 (11)) = 55 no divide 143), pero de nuevo es un ejemplo.
